৭ যদি a b c হয় তবে প্রমাণ কর যে i, বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত, গণিত

Question:৭.যদি  $a : b = b : c$  হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

(i).  $a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)$ 

(ii).  $a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3$ 

(iii).  $(abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1$ 

(iv).  $a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c$

Answer সমাধান:
(i).ধরি,  $a/b = b/c = k$ 

 $:. b = ck$ 

 $a = bk = ck.k = ck^2$ 

বামপক্ষ 
 $= a/c$ 

 $= (ck^2)/c$ 
 
 $= k^2$ 

ডানপক্ষ 

 $= (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)$ 

 $= ((ck^2)^2 + (ck)^2)/((ck)^2 + c^2)$ 

 $= (c^2k^4 + c^2k^2)/(c^2k^2 + c^2)$ 

 $= (c^2k^2(k^2 + 1))/(c^2(k^2 + 1))$ 

 $=k^2$ 

 $:. a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)$  ( প্রমাণিত )বিকল্প সমাধান:
দেওয়া আছে, 

 $a : b = b : c$ 

বা, $a/b = b/c$ 

বা,  $a^2/b^2 = b^2/c^2$    [  উভয়পক্ষকে বর্গ করে  ]

বা,  $(a^2 + b^2)/b^2 = (b^2 + c^2)/c^2$   [  যোজন করে  ]

বা,  $(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = b^2/c^2$   [  একান্তরকরণ করে  ]

বা,  $(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (ac)/c^2$     [   $:. a/b = b/c :. ac = b^2$   ]

বা,  $(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = a/c$ 

 $:. a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)$  ( প্রমাণিত )
(ii).দেওয়া আছে, 

 $a : b = b : c$  

বা,  $a/b = b/c$ 

 $:. b^2 = ac$ 

বামপক্ষ 

 $= a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)$ 

 $= (a^2b^2c^2)/a^3 + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3$ 

 $= (b^2c^2)/a + (a^2c^2)/b + (a^2b^2)/c$ 

 $= (b^2c^2)/a +((ac)^2)/b + (a^2b^2)/c$ 

 $= (ac.c^2)/a + ((b^2)^2)/b + (a^2 .ac)/c$   [   $:.$ মান বসিয়ে  ]

 $= c^3 + b^4/b + a^3$ 

 $= c^3 + b^3 + a^3$ 

 $= a^3 + b^3 + c^3$ 

  $=$ ডানপক্ষ 

  $:. a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3$ ( প্রমাণিত )


(iii).দেওয়া আছে, 

 $a : b = b : c$  

অর্থাৎ,  $a/b = b/c$ 

মনে করি, 

 $a/b = b/c = k$ 

 $:. b=ck$  এবং 

 $a=bk=ck.k=ck^2$ 

বামপক্ষ 

 $= (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3)$ 

 $= (ck^2 xx ck xx c(ck^2 + ck + c)^3)/((ck^2 xx ck + ck xx c + c xx ck^2)^3)$ 

 $= (c^3k^3{c(k^2 + k + 1)}^3)/((c^2k^3 + c^2k + c^2k^2)^3)$ 

 $= (c^3k^3 xx c^3(k^2 + k + 1)^3)/({c^2k(k^2 + 1 + k)}^3)$ 

 $= (c^6 k^3(k^2 + k +1)^3)/(c^6k^3(k^2 + k + 1)^3)$ 

 $= 1$ 

 $=$ ডানপক্ষ

 $:. (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1$    ( প্রমাণিত )


(iv).দেওয়া আছে, 

 $a : b = b : c$  

অর্থাৎ,  $a/b = b/c$ 

মনে করি,  $a/b = b/c = k$ 

  $:. b = ck$ 

 $a = bk = ck.k = ck^2$ 

প্রথম রাশি 

 $= a - 2b + c$ 

 $= ck^2 - 2ck + c$ 

 $= c(k^2 - 2k + 1)$ 

 $= c {(k)^2 - 2 xx k xx 1 + (1)^2}$ 

 $= c(k - 1)^2$ 

দ্বিতীয় রাশি 

 $= ((a - b)^2)/a$ 

 $= ((ck^2 - ck)^2)/(ck^2)$ 

 $=({ck(k - 1)}^2)/(ck^2)$ 

 $= (c^2k^2(k - 1)^2)/(ck^2)$ 

 $= c((k - 1)^2$ 

তৃতীয় রাশি 

 $= ((b - c)^2)/c$ 

 $= ((ck - c)^2)/c$ 

 $= ({c(k - 1)}^2)/c$ 

 $= (c^2(k - 1)^2)/c$ 

 $= c(k - 1)^2$ 

 $:. a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c$    ( প্রমাণিত )

/71

+ Report

Quizzes on বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত Ebook

Total Preview: 1993

৭.jodi

$a : b = b : c$ hoyo, tobe proman kar je, (i).

$a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)$ (ii).

$a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3$ (iii).

$(abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1$ (iv).

$a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c$