বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ, গণিত

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

Question:`1/(1 - p + p^2), 1/(1 + p + p^2)` এবং `(2p)/(1 + p^2 + p^4)` তিনটি বীজগাণিতীয় ভ্গ্নাংশ।

 ক. ৩য় ভগ্নাংশের হরকে উৎপাদকে বিশ্নেষণ কর।

 খ. `1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4) = 0`

 গ. ভগ্নাংশ তিনটিকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 
Answerক. তৃতীয় ভগ্নাংশের হর

     `= 1 + p^2 + p^4`

     `= (p^2)^2 + 2. p^2 .1 + 1^2 - p^2`

     `= (p^2 + 1)^2 - p^2`

    ` = (P^2 + 1 + p) (p^2 + 1 - p)`

     `= (1 + p + p^2) (1 - p + p^2)`  (Ans)

 খ. বামপক্ষ

    `= 1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)`

    `= (1 + p + p^2 - 1 + p - p^2)/((1 - p + p^2) (1 + p + p^2)) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)`

    `= (2p)/(1 - p^2 + p^4) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)` [’ক’ এর সাহায্যে]

      = 0

      = ডানপক্ষ

    `:. 1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4) = 0`

  গ. ১ম ভগ্নাংশের হর`= 1 -p + p^2`

      ২য় ভগ্নাংশের হর` = 1 + p + p^2`

      ৩য় ভগ্নাংশের হর` = 1 - p^2 + p^4`

    `= (1 - p + p^2) (1 + p + p^2)`[ক এর সাহায্যে]

    :. ভগ্নাংশের হরগুলোর ল,সা,গু

     `= (1 - p + p^2) (1 + p + p^2)`

    এখন, হরগুলোর ল,সা,গু/১ম ভগ্নাংশের হর

    `= ((1 - p + p^2)(1 + p + p^2))/(1 - p + p^2) = 1 + p + p^2`

 `:. 1/(1 - p + p^2) = (1(1 + p + p^2))/((1 - p + p^2) (1 + p + p^2)) = (1 + p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)`

    হরগুলোর ল,সা,গু/২য় ভগ্নাংশের হর

   `= ((1 + p + p^2) (1 - p + p^2))/(1 + p + p^2)`

  `:. 1/(1 + p + p^2) = (1(1 - p + p^2))/((1 + p + p^2) (1 - p + p^2)) = (1 - p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)`

    হরগুলোর ল,সা,গু/৩য় ভগ্নাংশের হর

  `= ((1 - p + p^2)(1 + p + p^2))/((1 - p + p^2)(1 + p + p^2)) = 1`

   `:. (2p)/(1 - p^2 + p^4) = (2p. 1)/((1 + p^2 + p^4). 1) = (2p)/(1 + p^2 + p^4)`

    :. সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো:

     `(1 + p + p^2)/(1 + p^2 + p^4), (1 - p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)` এবং `(2p)/(1 + p^2 + p^4)` (Ans)

Report

Question:`p = a^2 + 3a - 4, Q = a^2 - 1, R = a^2 + 5a + 4`

 ক. p এর উৎপাদক কতটি?

 খ. P Q R এর ল,সা,গু নির্ণয় কর।

 গ. সরল কর: `(3a)/P + (2a)/Q + a/(a^2 + 5a + 4)` 
Answerক দেওয়া আছে, 

        `P = a^2 + 3a - 4`

          `= a^2 + 4a - a - 4`

          `= a (a + 4) - 1(a + 4)`

            = (a + 4) (a - 1) 

        সুতরাং p এর উৎপাদক 2টি।

  খ. ‘ক’ থেকে পাই, 

          p = (a + 4) (a - 1)

      দেওয়া আছে, Q =` a^2 - 1`

                        = (a + 1) (a - 1)

             এবং  R` = a^2 + 5a + 4`

                        =` a^2 + 4a + a + 4`

                        =` a(a + 4) + 1(a + 4)`

                        =` (a + 4) (a + 1)`

                    :. P, Q, R এর ল,সা,গু

                      = (a + 4) (a - 1) (a + 1)

                      = `(a + 4) (a^2 - 1)`

  গ. প্রদত্ত রাশি 

        `= (3a)/(a^2 + 3a - 4) + (2a)/(a^2 - 1) + a/(a^2 + 5a + 4)`

        `= (3a)/(a^2 + 4a - a - 4) + (2a)/((a + 1)(a - 1)) + a/(a^2 + a + 4a + 4)`

        `= (3a)/((a + 4)(a - 1)) + (2a)/((a + 1)(a - 1)) + a/((a + 1)(a + 4))`

        `= (3a(a + 1) + 2a(a + 4) + a(a - 1))/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`

        `= (3a^2 + 3a + 2a^2 + 8a + a^2 - a)/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`

        `= (6a^2 + 10a)/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`

        `= (2a(3a + 5))/((a + 4)(a^2 - 1))`

Report

Question:`x = 1 - a + a^2, y = 1 + a + a^2` `z = 1 + a^2 + a^4`

 ক. z কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তরফল রুপে প্রকাশ কর।

 খ. x, y, ও z এর ল,সা,গু নির্ণয় কর।

 গ. `1/x - 1/y - (2a)/z` কত? 
Answerক. `z = 1 + a^2 + a^4`

       `= (a^2)^2 + 2.a^2.1 + (1)^2 - a^2`

       `= (a^2 + 1)^2 - a^2`

  খ. `x = 1 - a + a^2`

      `y = 1 + a + a^2`

      `z = 1 + a^2 + a^4`

          =` 1 + 2.a^2.1 + (a^2)^2 - a^2`

          = `(1 + a^2)^2 - a^2`

          =` (1 + a^2 + a) (1 + a^2 - a)`

          =` (1 + a + a^2) (1 - a + a^2)`

        :. x, y, z এর ল,সা,গু `= (1 - a + a^2) (1 + a + a^2)`

               `= (1 + a^2 - a) (1 + a^2 + a)`

               `= (1 + a^2)^2 - a^2`

               `= 1 + 2a^2 + a^4 - a^2`

               `= 1 + a^2 + a^4`

                  উত্তর: `1 + a^2 + a^4`

 গ. `1/(1 - a + a^2) - 1/(1 + a + a^2) - (2a)/(1 + a^2 + a^4)`

     এখানে, `1 + a^2 + a^4 = 1 + 2a^2 + a^4 - a^2`

     `= (1 + a^2)^2 - a^2`

     `= (1 + a^2 + a) (1 + a^2 - a)`

       হর `1 - a + a^2, 1 + a + a^2, 1 + a^2 + a^4`

        এর ল,সা,গু

      `= (1 + a + a^2) (1 - a + a^2)`

      `= 1 + a^2 + a^4`

     `:. 1/(1 - a + a^2) - 1/(1 + a + a^2) - (2a)/(1 + a^2 + a^4)`

     `= (1 + a + a^2 - 1 + a - a^2 - 2a)/(1 + a^2 + a^4)`

       = `0/(1 + a^2 + a^4)`

       = 0

      উত্তর: 0

Report

Question:`a/(a^2 - 9b^2), b/(a^2 + 6ab + 9b^2)` দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।

 ক. ভগ্নাংশ দুইটির হরের গ,সা,গু নির্ণয় কর।

 খ. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফল নির্ণয় কর।

 গ. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফলের সাথে কত যোগ করলে যোগফল `1/(a + 3b)` হবে? 
Answerক. ১ম ভগ্নাংশে হর 

         `= a^2 - 9b^2`

         `= (a)^2 - (3b)^2`

         `= (a + 3b) (a - 3b)`

   ২য় ভগ্নাংশে হর 

          `= a^2 + 6ab + 9b^2`

          `= a^2 + 2.a. 3b + (3b)^2`

          `= (a + 3b)^2`

          `= (a + 3b) (a + 3b)`

      :. ভগ্নাংশ দুইটির হরের গ,সা,গু = (a + 3b)

   খ. নির্ণেয় যোগফল

     `= a/(a^2 - 9b^2) + b/(a^2 + 6ab + 9b^2)`

     `= a/(a^2 - (3b)^2 + b/(a^2 + 2.a.3b + (3b)^2)`

     `= a/((a + 3b)(a - 3b)) + b/(a + 3b)^2`

     `= a(a + 3b) + b (a - 3b))/((a + 3b)^2 (a - 3b))`

     `= (a^2 + 3ab + ab - 3b^2)/((a + 3b)(a^2 - 9b^2))`

  গ. ’খ’ থেকে পাই,

           `(a^2 + 4ab - 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

         `:. 1/(a + 3b) - (a^2 + 4ab - 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

           `= (a^2 - 9b^2 - a^2 - 4ab + 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

           `= (- 4ab - 6b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

           `= (- 2b (2a + 3b))/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

          :. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফলের সাথে  `= (- 2b (2a + 3b))/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

           যোগ করলে যোগফল `1/(a + 3b)` হবে।

Report

Question:`(x + y + xy + (xy^2 + y^2)/(1 - y))` একটি বীজগাণিতিক রাশি।

 ক. বীজগণিতীয় রাশিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

 খ. রাশিটির ভগ্নাংশের লবকে হর এবং হরকে লব ধরে প্রাপ্ত ভগ্নাংশ থেকে বিয়োগ কর।

 গ. ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত বিয়োগ ফলের লবের সাথে `(1 - y)^2` যোগ করে ভগ্নাংশটিকে দুইটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগফল আকারে প্রকাশ কর। 
Answerক. `x + y + xy + (xy^2 + y^2)/(1 - y)`

      `= (x (1 - y) + y (1 - y) + xy (1 - y) + xy^2 + y^2)/(1 - y)`

      `= (x - xy + y - y^2 + xy - xy^2 + xy^2 + y^2)/(1 - y)`

      `= (x + y)/(1 - y)` (Ans)

  খ. ‘ক’ থেকে পাই,

      ভগ্নাংশ `= (x + y)/(1 - y)`

    :. বিপরীত ভগ্নাংশ `= (1 - y)/(x + y)`

    :. বিয়োগফল `= (x + y)/(1 - y) - (1 - y)/(x + y)`

                  `= ((x + y)^2 - (1 - y)^2)/((1 - y) (x + y))`

                  `= (x^2 + 2xy + y^2 - (1 - 2y + y^2))/((1 - y) (x + y))`

                  `= (x^2 + 2xy + y^2 - 1 + 2y - y^2)/((1 - y)(x + y))`

                  `= (x^2 + 2xy + 2y - 1)/((1 - y) (x + y))` (Ans) 

   গ. ‘খ’ থেকে পাই,

        `(x^2 + 2xy + 2y - 1)/((1 - y)(x + y))`

       `:. (x^2 + 2xy + 2y - 1 + (1 - y)^2)/((1 - y)(x + y))`

        `= (x^2 + 2xy + 2y - 1 + 1 - 2y + y^2)/((1 - y) (x + y))`

        `= (x^2 + 2xy + y^2)/((1 - y)(x + y))`

        `= (x + y)^2/((1 - y)(x + y))`

        `= (x + y)/(1 - y)`

       `= x/(1 - y) + y/(1 - y)`     (Ans)

Report

First Prev 4 5 6 7 8 Next Last

Question:`p = a^2 + 3a - 4, Q = a^2 - 1, R = a^2 + 5a + 4` ক. p এর উৎপাদক কতটি? খ. P Q R এর ল,সা,গু নির্ণয় কর। গ. সরল কর: `(3a)/P + (2a)/Q + a/(a^2 + 5a + 4)`

Question:`x = 1 - a + a^2, y = 1 + a + a^2` `z = 1 + a^2 + a^4` ক. z কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তরফল রুপে প্রকাশ কর। খ. x, y, ও z এর ল,সা,গু নির্ণয় কর। গ. `1/x - 1/y - (2a)/z` কত?