সমাধান:
দেওয়া আছে,
`A = {a, b}, B = {a, b, c}`
`:. C = A uu B`
`= {a, b} uu {a, b, c}`
`= {a, b, c}`
এখানে,
`C` এর উপাদান সংখ্যা `3`.
এবং `C` এর উপসেটসমূহ `{a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a}, {b}, {c}, O/`.
`:. P(C) = {{a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a}, {b}, {c}, O/}`
`:. P(C)` = এর উপাদান সংখ্যা `8`
`= 2^3` 
`:. P(C)` এর উপাদান সংখ্যা `2^n`
যেখানে `n` হলো `C` এর উপাদান সংখ্যা।  (দেখানো হলো)

সমাধান:(ক ) `(x - 1, y + 2) = (y - 2, 2x + 1)` হলে `x` এবং `y` এর মান নির্ণেয় কর।

দেওয়া আছে,

`(x - 1, y + 2) = (y - 2, 2x + 1)`

ক্রমজোড়ের শর্তমতে, 

`x - 1 = y - 2`

বা, `x - y = -2 +1`

`:. x - y = -1`............(i)

এবং `y + 2 = 2x + 1`

বা, `y - 2x = 1 - 2`

বা, `y - 2x = -1`

`:. 2x - y = 1`..........(ii) [ উভয় পক্ষকে `(-1)` দ্বারা গুণ করে ]

(i) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে

`x - y -(2x - y) = -1 -1`

বা, `x - y - 2x +y = - 2`

বা, `- x = - 2`

`:. x = 2`  [ উভয় পক্ষকে `(-1)` দ্বারা গুণ করে ]

এখন, (i) নং সমীকরণে `x` এর মান বসিয়ে

`2 - y = -1`

বা, `- y = - 3`

`:. y = 3`  [ উভয় পক্ষকে `(-1)` দ্বারা গুণ করে ]Ans. `x = 2, y = 3`(খ ) `(ax - cy, a^2 - c^2) = (0, ay - cx)` হলে, `(x, y)` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে,

`(ax - cy, a^2 - c^2) = (0, ay - cx)`

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,

`ax - cy = 0` .........(i)

এবং,

`a^2 - c^2 = ay - cx`

বা, `ay - cx = a^2 - c^2` ............(ii)

(i) নং কে `a` দ্বারা ও (ii) নং কে `c` দ্বারা গুণ করে যোগ করি,

`a^2x - acy = 0`

`(acy - c^2x = a^2c - a^3)/(a^2x - c^2x = a^2c - c^3)`

বা, `x(a^2 - c^2) = c(a^2 - c^2)`

বা, `x = (c(a^2 - c^2))/((a^2 - c^2))`

`:. x = c`

(i) নং এ `x` এর মান বসিয়ে,

`a.c - cy = 0`

বা, `cy = ac`

`:. y = a`

`:. (x, y) = (c, a)`Ans.`(c, a)`(গ) `(6x - y, 13) = (1, 3x + 2y)` হলে, `(x, y)` নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,

`(6x - y, 13) = (1, 3x + 2y)`

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,

`6x - y = 1` .........(i)

এবং,

`13 = 3x + 2y`

বা, `3x + 2y = 13` ...........(ii)

এখন, (i) নং কে `2` দ্বারা গুণ করে (ii) নং এর সাথে যোগ করি,

`12x - 2y = 2`

`(3x + 2y = 13)/(15x = 15)`

`:. x = 1`

(i) নং এ `x` এর মান বসিয়ে,

`6.1 - y = 1`

বা, `6 - y = 1`

`:.y = 5`

`:. (x, y) = (1, 5)`Ans.`(1, 5)`

সমাধান:(ক) `P = {a}, Q= {b, c}` হলে `P xx Q` এবং `Q xx P` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`P = {a}` এবং `Q = {b, c}`
`:. P xx Q = {a} xx {b, c}`
`= {(a, b), (a, c)}`
এবং
`Q xx P = {b, c} xx {a}`
`= {(b, a), (c, a)}`Ans. `{(a, b), (a, c)}; {(b, a), (c, a)}`(খ) `A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6}` এবং `C = {x, y}` হলে, `(A nn B) xx C` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6}`
এবং `C = {x, y}`
এখানে,
`A nn B = {3, 4, 5} nn {4, 5, 6}`
`= {4, 5}`
`:. (A nn B) xx C = {4, 5} xx {x, y}`
`= {(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)}`Ans. `{(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)}.`(গ) `P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7}` এবং `R = P\Q` হলে, `(P uu Q) xx R` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`P = {3, 5, 7}` এবং ` Q = {5, 7}`
`:. R = P\Q`
`= {3, 5, 7} - {5, 7}`
`= {3}.`
এখানে,
`P uu Q = {3, 5, 7} uu {5, 7}`
`= {3, 5, 7}`
`(P uu Q) xx R = {3, 5, 7} xx {3}`
`= {(3, 3), (3, 5), (3, 7)}.`Ans. `{(3, 3), (3, 5), (3, 7)}.`

সমাধান:
এখানে,
`35 = 1 xx 35`
` = 5 xx 7`
`A = {1, 5, 7, 35}`
আবার,
`45 = 1 xx 45`
` = 3 xx 15`
` = 5 xx 9`
`:. B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}`
`:. A uu B = {1, 5, 7, 35} uu {1, 3, 5, 9, 15, 45}`
`= {1, 3, 5, 7, 9, 15, 35, 45}`
এবং 
`A nn B = {1, 5, 7, 35} nn {1, 3, 5, 9, 15, 45}`
`= {1, 5}`Ans.`{1, 3, 5, 7, 9, 15, 35, 45}` এবং  `{1, 5}`

সমাধান:
যে স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা `346` এবং `556` কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে `31` অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাটি `31` অপেক্ষা বড় এবং সংখ্যাটি `(346 - 31) = 315` ও 
`(556 - 31) = 525` এর সাধারণ গুণনীয়ক।
মনে করি,
`31` অপেক্ষা বড় `315` এর গুণনীয়কের সেট `= A`
এবং `525` এর গুণনীয়কের সেট `= B`
এখানে,
`315 = 1 xx 315`
`= 3 xx 105`
`= 5 xx 63`
`= 7 xx 45`
`= 9 xx 35`
আবার,
`525 = 1 xx 525`
`= 3 xx 175`
`= 5 xx 105`
`= 7 xx 75`
`= 15 xx 35`
`31` অপেক্ষা বড় `315` এর গুণনীয়কগুলো হলো:
`35, 45, 63, 105, 315`
`31` অপেক্ষা বড় `525` এর গুণনীয়কগুলো হলো:
`35, 75, 105, 175, 525`
`A = {35, 45, 63, 105, 315}` 
এবং  `B = {35 , 75, 105, 175, 525}`
`:.` নির্ণেয় সেট `= A nn B = {35, 105}`Ans. `{35, 105}`