ক. ১ম ড্রামে দুধের পরিমাণ ২২৫ লিটার 

:. নতুন আরেকটি ড্রামে দুধের পরিমান `= ২২৫ xx ২` লিটার

                                             ৪৫০ লিটার (উত্তর)



খ. সর্বাধিক দুধ ধরে এরূপ কন্টেইনার পরিমাপ ২২৫, ৩৭৫ ও ৪৫০ এর ল. সা. গু যত তত লিটার 

              এখন, ২২৫)৩৭৫(১
                           ২২৫
                       -----------
                          ১৫০)২২৫(১
                                ১৫০
                              ----------
                                ৭৫)১৫০(২
                                     ১৫০
                                   ---------
                                      ০

                :. ২২৫, ৩৭৫ এর গ. সা. গু = ৭৫

                আবার, ৭৫)৪৫০(৬
                            ৪৫০
                         --------
                             ০

            :. ২২৫, ৩৭৫ এর গ. সা. গু = ৭৫

           :. সর্বাধিক ৭৫ লিটার দুধ ধরে এরূপ কন্টেইনার দ্বারা ড্রাম তিনটি পূর্ণ করা যাবে । (উত্তর)

         গ. ১ম ড্রাম দুধ ধরে `(২২৫)/(৭৫)`বা ৩ কন্টেইনার

            ২য় ড্রামে দুধ ধরে `(৩৭৫)/(৭৫)`বা ৫ কন্টেইনার 

            ৩য় ড্রামে দুধ ধরে `(৪৫০)/(৭৫)` বা ৬ কন্টেইনার

           :. ড্রাম তিনটিতে যথাক্রমে ৩, ৫ ও ৬ কন্টেইনার দুধ ধরে । (উত্তর)

ক. তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০

    `৭৫ = ১ xx ৭৫`
       
       `= ৩ xx ৭৫`

     :. ৭৫ এর গুণনীয়কগুলো : ১, ৩, ৫, ১৫, ২৫, ৭৫

 খ. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০ এবং প্রদত্ত সংখ্যা তিনটি ১৫, ৫০, ৭৫

    এখন, ২|১৫, ৫০, ৭৫, ১০০
             ---------------------
            ৩|১৫, ২৫, ৭৫, ৫০
              ----------------------  
              ৫|৫, ২৫, ২৫, ৫০
                ------------------------- 
                ৫|১, ৫, ৫, ১০
                  -----------------
                    ১, ১, ১, ২

    :. নির্ণেয় ল. সা. গু` = ২ xx ৩ xx ৫ xx ৫ xx ২ = ৩০০`

     গ. ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০

      তালিকায় সংখ্যাগুলোর ল. সা. গু দিয়ে ভাগ করে সংখ্যাটি নির্ণয় করতে হবে ।

     এখন, ৩০০)১০০০০০(৩৩৩
                   ৯০০
                 _______
                   ১০০০
                   ৯০০
                _______
                   ১০০

      সুতরাং ১০০০০০ সংখ্যাটি ৩০০ দ্বারা বিভাজ্য নয় ।

      অতএব বিভাজ্য সংখ্যাটি হবে (১০০০০০ - ১০০)

      বা ৯৯৯০০ কিন্তু এটি পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা ।

     :. নির্ণেয় ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি

     = ১০০০০০ + (৩০০ - ১০০)

     = ১০০০০০ + ২০০ = ১০০২০০ (উত্তর)

ক. `২৮ = ২ xx ২ xx ৭`

    :. ২৮ এর মেীলিক গুণনীয়কগুলো হলো ২, ২, ৭ ।(উত্তর)

  খ. এখানে ২৮ এর মেীলিক গুণনীয়কগুলো হলো ২, ২, ৭ ।

    `২৮ = ২ xx ২ xx ৭`
  
    `৩৬ = ২ xx ২ xx ৩ xx ৩`

   ` ৫৪ = ২ xx ৩ xx ৩ xx ৩`

   ` ৭২ = ২ xx ২ xx ২ xx ৩ xx ৩`

   ` ১৪৪ = ২ xx ২ xx ২ xx ২ xx ৩ xx ৩` 

     এখানে, ২৮, ৩৬, ৫৪, ৭২, ১৪৪ সংখ্যাগুলোর মেীলিক গুণনীয়কে ২ আছে সর্বোচ্চ চার 

     বার ৩ আছে সর্বোচ্চ এক বার । কাজেই ২ চার বার ৩ তিন বার ৭ এক বার নিয়ে 

     ধারাবাহিক গুণ করলে পাওয়া যায় ।

   `২ xx ২ xx ২ xx ২ xx ৩ xx ৩ xx ৩ xx ৭`

    বা, ৩০২৪; যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল. সা. গু ।

    গ. এখন, ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে পাই, 

      ২|২৮, ৩৬, ৫৪, ৭২, ১৪৪
        _________________
        ২|১৪, ১৮, ২৭, ৩৬, ৭২
         _________________
         ২|৭, ৯, ২৭, ১৮, ৩৬
           ________________
           ৩|৭, ৯, ২৭, ৯, ১৮
             _______________
             ৩|৭, ৩, ৯, ৩, ৬
               _______________
                 ৭, ১, ৩, ১, ২

   :. নির্ণেয় ল. সা. গু` = ২ xx ২ xx ২ xx ২ xx ৩ xx ৩ xx ৩ xx ৭`

                        = ৩০২৮; যা ‘খ’ এর ল. সা. গু মেীলিক গুণনীয়ক পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ল. সা. গু এর সমান ।

ক. `৬৭২ = ২ xx ২ xx ২ xx ২ xx ২ xx ৩ xx ৭` ।

     :. ৬৭২ এর মেীলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ২, ২, ২, ৩, ৭ (উত্তর)


   খ. নির্ণেয় একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্যের সাংখি্ক মান হবে

     ৬৭২ এবং ৯৬০ এর ল. সা. গু এর সমান । এখানে ৬৭২ এর মেীলিক 

     গুণনীয়কগুলো ২, ২, ২, ২, ২ ৩, ৭ এবং 

     এখানে ৯৬০ এর মেীলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ২, ২, ২, ২, ৩, ৫

     ৬৭২ এবং ৯৬০ এর সাধারণ মেীলিক গুণনীয়কগুলো ২, ২, ২, ২, ২, ৩

     :. ৬৭২ এবং ৯৬০ এর গ. সা. গু` = ২ xx ২ xx ২ xx ২ xx ২ xx ৩ = ৯৬`

     :. একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার ‍দৈর্ঘ্য  ৯৬ সে. মি.।(উত্তর)

    গ. লোহার পাতের টুকরার সংখ্যা ৯৬)৬৭২(৭
                                          ৬৭২
                                       --------
                                          ০
                                      = ৭ টি
   এবং তামার পাতের টুকরার সংখ্যা ৯৬)৯৬০(১০
                                          ৯৬০
                                       -------------
                                            ০
                                        = ১০টি

   লোহার পাতের টুকরার সংখ্যা ৭ টি 

   তামার পাতের টুকরার সংখ্যা ১০ টি

এখানে,

  (ক)  প্রথম ভগ্নাংমের লব` xx` দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর` = ৫ xx ২৪` = ১২০ 

        প্রথম ভগ্নাংশের হর` xx ` দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব `= ৮ xx ১৫` = ১২০

        যেহেতু গুণফলদ্বয় সমান

        সুতরাং` ৫/৮, (১৫)/(২৪)` ভগ্নাংশ-যুগল সমতুল (উত্তর) 



(খ) এখানে,

    প্রথম ভগ্নাংশের লব` xx ` দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর` = ৭ xx ৩৩` = ২৩১

    প্রথম ভগ্নাংশের হর ` xx `দ্বিতীয় লব` = ১১ xx ১৪` = ১৫৪

   যেহেতু গুণফলদ্বয় সমান নয়

    সুতরাং ` ৭/(১১), (১৪)/(৩৩)` ভগ্নাংশ-যুগল সমতুল নয় । (উত্তর)

(গ)  এখানে,

      প্রথম ভগ্নাংশের লব` xx` দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর

       = ৩৮` xx` ১৫০

      = ৫৭০০

     প্রথম ভগ্নাংশের হর` xx `দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব 

    = ৫০` xx` ১১৮ = ৫৭০০

   যেহেতু গুণফলদ্বয়ের সমান

   সেহেতু `(৩৮)/(৫০), (১১৪)/(১৫০)` ভগ্নাংশ-যুগল সমতুল । (উত্তর)