ক. দেওয়া আছে, 

  `p = 1/(x - 1), q = 2/(x^2 + 1)`

 `:. p + p = 1/(x - 1) + 2/(x^2 + 1)`

 `= (x^2 + 1 + 2 (x - 1))/((x - 1)(x^2 + 1))`

`= (x^2 + 1 + 2x - 2)/((x - 1) (x^2 + 1)`

`= (x^2 + 2x - 1)/((x - 1) (x^2 + 1))`  (Ans)

 খ. দেওয়া আছে, 

    `p = 1/(x - 1)`

 `:. 1/p = x - 1`

  `q = 2/(x^2 + 1)`

   `x^2 + 1 = 2/q`

  `(x^2 + 1)/2 = 1/q`

  `:. 1/q = (x^2 + 1)/2`

  `s = 1/(x + 1)`

 `:. 1/s = x + 1`

 `:. 1/p, 1/q` এবং `1/s` এর ল,সা,গু 1.

 গ. দেওয়া আছে,

 `p = 1/(x - 1), q = 2/(x^2 + 1), r = 4/(x^4 + 1)` এবং `s = 1/(x + 1)`

 `:. p - s - q + r = 1/(x - 1) - 1/(x + 1) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

 `= (x + 1 - x + 1)/(x^2 - 1) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

 `= 2/(x^2 - 1) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

 `= (2 (x^2 + 1) - 2 (x^2 - 1))/((x^2 - 1) (x^2 + 1)) + 4/(x^4 + 1)`

 `= (2x^2 + 2 - 2x^2 + 2)/(x^4 - 1) + 4/(x^4 + 1)`

 `= 4/(x^4 - 1) + 1/(x^4 + 1)`

 `= (4x^4 + 4 + 4x^4 - 4)/((x^4 - 1)(x^4 + 1))`

 `= (8x^4)/(x^8 - 1)`   (Ans)

ক. ভগ্নাংশের লঘিষ্টকরণ: কোনো বীজগাণিতীয় ভগ্নাংশের লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক থাকলে ভগ্নাংশটির লব ও হরে গ,সা,গু দিয়ে লব ও হরকে ভাগ করলে লব ও হরের ভাগফল দ্বারা গঠিত নতুন ভগ্নাংশটিই হবে প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লঘিষ্টরুপ।

 যেমন: `(a^3 b^2 - a^2b^3)/(a^3b - ab^3)`

       ` = (a^2b^2(a - b))/(ab(a^2 - b^2))`

        `= (a^2b^2 (a - b))/(ab (a + b) (a - b))`

        `= (ab)/(a + b)`


   খ. ভগ্নাংশের হরগুলো হলো নিম্নরুপ

       `a^2 - b^2 - c^2 - 2bc`

      `b^ - c^2 - a^2 - 2ca, c^2 - a^2 - b^2 - 2ab`

      ১ম রাশি `a^2 - b^2 - c^2 - 2bc`

             `= a^2 - (b^2 + c^2 + 2bc)`

            `= a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)`

           `= a^2 - (b + c)^2`

           `= (a + b + c) (a - b - c)` 

    ২য় রাশি `b^2 - c^2 - a^2 - 2ca`

             `= b^2 - (c^2 + a^2 + 2ca)`

             `= b^2 - (c^2 + 2ca + a^2)`

             `= b^2 - (c + a)^2`

             `= (b + c + a) (b - c - a)`

             `= (a + b + c) (b - c - a)`

    ৩য় রাশি `c^2 - a^2 - b^2 - 2ab`

             `= c^2 - (a^2 + b^2 + 2ab)`

             `= c^2 - (a^2 + 2ab + b^2)`

             `= c^2 - (a + b)^2`

             `= (c + a + b) (c - a - b)`

             `= (a + b + c) (c - a - b)`

       ১ম রাশি, ২য় রাশি, ও ৩য় রাশির সাধারণ উৎপাদক (a + b + c)

        :. হরগুলোর গ,সা,গু = (a + b + c)

ক. নির্ণেয় যোগফল 

       `= 1/(x + 2y) + 1/(x - 2y)`

       `= (x - 2y + x + 2y)/((x + 2y) (x - 2y))`

       `= (2x)/((x)^2 - (2y^2))`

       `= (2x)/(x^2 - 4y^2)`

        উত্তর: `(2x)/(x^2 - 4y^2)`

                     
 খ. `1/(x + 2y) + 1/(x - 2y) + (2x)/(x^2 - 4y^2) - (16xy^2)/(x^4 - 16y^4)`

     `= (x - 2y + x + 2y)/((x + 2y) (x - 2y)) + (2x)/(x^2 - 4y^2) - (16xy^2)/((x^2)^2 - (4y^2)^2`

    ` = (2x)/(x^2 - 4y^2) + (2x)/(x^2 - 4y^2) - (16xy^2)/((x^2 - 4y^2)(x^2 + 4y^2))`

     `= (2x + 2x)/(x^2 - 4y^2) - (16xy^2)/((x^2 - 4y^2) (x^2 + 4y^2))`

     `= (4x(x^2 + 4y^2) - 16xy^2)/((x^2 - 4y^2) (x^2 + 4y^2))`

    ` = (4x^3 + 16xy^2 - 16xy^2)/(x^4 - 16y^4) `

    ` = (4x^3)/(x^4 - 16y^4)`

         উত্তর: `(4x^3)/(x^4 - 16y^4)`


 গ. `1/(x + 2y), 1/(x - 2y), (2x)/(x^2 - 4y^2)`

    ১ম ভগ্নাংশের হর `= x + 2y`

    ২য় ভগ্নাংশের হর `= x - 2y`

    ৩য় ভগ্নাংশের হর`= x^2 - 4y^2`

                     `= x^2 - (2y)^2`

                     `= (x + 2y) (x - 2y)`

    প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর

     `(x + 2y) (x - 2y) (x^2 - 4y^2)`

    এর ল,সা,গু `= (x + 2y) (x - 2y)`

     হরগুলোর ল,সা,গু/প্রথম ভগ্নাংশের হর

         `= ((x + 2y) (x - 2y))/(x + 2y)`

        `= x - 2y`

    `:. 1/(x + 2y) = (1 xx (x - 2y))/((x + 2y) (x - 2y)) `

                        `= (x - 2y)/(x^2 - 4y^2)`

        হরগুলোর ল,সা,গু/দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর,

               `= ((x + 2y) (x - 2y))/(x - 2y)`

                 = x + 2y

     `:. 1/(x - 2y) = (1 xx (x + 2y))/((x - 2y) (x + 2y))`

                       `= (x + 2y)/(x^2 - 4y^2)`

         এবং হরগুলোর ল,সা,গু/তৃতীয় ভগ্নাংশের হর

         `= ((x + 2y) (x - 2y))/(x^2 - 4y^2)`

               `= (x^2 - 4y^2)/(x^2 - 4y^2) = 1`

            `:. (2x)/(x^2 - 4y^2) = (2x xx 1)/(x^2 - 4y^2)`

          :. নির্ণেয় সাধারণ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো

        `(x - 2y)/(x^2 - 4y^2), (x + 2y)/(x^2 - 4y^2) (2x)/(x^2 - 4y^2)`

ক. ১ম ভগ্নাংশের হর = x - y

    ২য় ভগ্নাংশের হর = `x^2 + xy + y^2`

    ৩য় ভগ্নাংশের হর = `x^3 - y^3`

                       = `(x - y) (x^2 + xy + y^2)`

       :. হরগুলোর ল,সা,গু `= (x - y) (x^2 + xy + y^2)`

                              `= x^3 - y^3`


     খ. এখানে, ১ম রাশি` = 1/(x - y)`

           ২য় রাশি `= x/(x^2 + xy + y^2)`

           ৩য় রাশি` = y^3/(x^3 - y^3) = y^2/((x - y) (x^2 + xy + y^2)`

     হরগুলোর ল,সা,গু `= (x - y) (x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3`

     সুতরাং `1/(x - y), x/(x^2 + xy + y^2), y^2/(x^3 - y^3)` এর যোগফল

     `= 1/(x - y) + x/(x^2 + xy + y^2) + y^2/(x^3 - y^3)`

    `= (x^2 + xy + y^2)/((x - y)(x^2 + xy + y^2)) + (x(x - y))/((x - y)(x^2 + xy + y^2)) + y^2/(x^3 - y^3)`

    `= (x^2 + xy + y^2)/(x^3 - y^3) + (x^2 - xy)/(x^3 - y^3) + y^2/(x^3 - y^3)`

    `= (x^2 + xy + y^2 + x^2 - xy + y^2)/(x^3 - y^3)`

      `= (2(x^2 + y^2))/(x^3 - y^3)`

    নির্ণেয় যোগফল `= (2(x^2 + y^2))/(x^3 - y^3)`

   
  গ. ১ম ভগ্নাংশ` = 1/(x - y)`

      ২য় ভগ্নাংশ` = x/(x^2 + xy + y^2)`

      ৩য় ভগ্নাংশ` = y^2/(x^3 - y^3)`

      ‘ক’ থেকে পাই,

     হরগুলোর ল,সা,গু `= (x - y) (x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3`

     এখানে, `(x - y) (x^2 + xy + y^2) -: (x - y) = x^2 + xy + y^2`

          `:. 1/(x - y) = (x (x^2 + xy + y^2))/((x - y) xx (x^2 + xy + y^2)) = (x^2 + xy + y^2)/(x^3 - y^3)`

      আবার,

            `(x - y) (x^2 + xy + y^2) -: (x^2 + xy + y^2) = x - y`

            `:. x/(x^2 + xy + y^2) = (x xx (x - y))/(x^2 + xy + y^2) xx (x - y)) = (x(x - y))/(x^3 - y^3)`

      আবার,

          `(x^3 - y^3) -: (x^3 - y^3) = 1`

        `:. y^2/(x^3 - y^3) = (y^2 xx 1)/((x^3 - y^3) xx 1) = y^2/(x^3 - y^3)`

     :. নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো: 

      `(x^2 + xy + y^2)/(x^3 - y^3), (x (x - y))/(x^3 - y^3), y^2/(x^3 - y^3)`

ক. ৩য় রাশির হর `= c^2 + a^2 - b^2 + 2ca`

                   `= c^2 + 2ca + a^2 - b^2`

                   `= (c + a)^2 - b^2`

                   `= (c + a + b) (c + a - b)`  (Ans)

  খ. `1/(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab) + 1/(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)`

                                        ` + 1/(c^2 + a^2 - b^2 + 2ca)`

`= 1/((a^2 + 2ab + b^2) - c^2) + 1/((b^2 + 2bc + c^2) - a^2) `

                                             `+ 1/((c^2 + 2ca + a^2) - b^2)`

`= 1/((a + b)^2 - c^2) + 1/((b + c)^2 - a^2) + 1/((c + a)^2 - b^2)`

`= 1/((a + b + c) (a + b - c)) + 1/((b + c + a)(b + c - a)) + 1/((c + a + b) (c + a - b))`

 = `((b + c - a)(c + a - b) + (a + b - c)(c + a - b) + (a + b - c)(b + c - a))/((a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b))`

এখন লব `bc + ab - b^2 + c^2 + ca - bc - ca - a^2 + ab + ca + a^2 - ab + bc + ab - b^2`

            `- c^2 - ca + bc + ab + ca - a^2 + b^2 + bc - ab - bc - c^2 + ca`

        `= 2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2`

  :. প্রদত্ত রাশি `= (2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2)/((a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b))`

    উত্তর: ` (2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2)/((a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b))`

 
  গ. ১ম রাশির হর` = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab`

                     `= a^2 + 2ab + b^2 - c^2`

                     `= (a + b)^2 - c^2`

                     `=  (a + b + c) (a + b - c)`

     ২য় রাশির হর `= b^2 + c^2 - a^2 + 2bc`

                    `= b^2 + 2bc + c^2 - a^2`

                     `= (b + c)^2 - a^2`

                     `= (b + c + a)(b + c - a)`

                       = (a + b + c) (b + c - a)

 ’ক’ থেকে পাই, ৩য় রাশির হর = (a + b + c) (c + a - b)

  :. হরগুলোর গ,সা,গু = (a + b + c)