ক. ‍১ম রাশির হর `= 2x^2 + 7x - 4`

   এবং ২য় রাশির লব` = 3x^2 + 11x - 4`

   :. নির্ণেয় ভাগফল` = (2x^2 + 7x - 4)/(3x^2 + 11x - 4)`

                      `= (2x^2 + 8x - x - 4)/(3x^2 + 12x - x - 4)`

                      `= (2x(x + 4) - 1(x + 4))/(3x(x + 4) - 1(x + 4))`

                      `= ((x + 4)(2x - 1))/((3x - 1)(x + 4))`

                      `= (2x - 1)/(3x - 1)`

                       উত্তর: `(2x - 1)/(3x - 1)`

  খ. `(2x^2 - 7x + 3)/(2x^2 + 7x - 4) xx (3x^2 + 11x - 4)/(3x^2 + 8x - 3) -: (2x^2 + x - 15)/(2x^2 - 11x + 15)`

 `= (2x^2 - 6x - x + 6)/(2x^2 + 8x - x - 4) xx (3x^2 + 12x - x - 4)/(3x^2 + 9x - x - 3) -: (2x^2 + 6x - 5x - 15)/(2x^2 - 6x - 5x + 15)`

 `= (2x (x - 3) - 1(x - 3))/(2x(x + 4) - 1(x + 4)) xx (3x(x + 4) - 1(x + 4))/(3x(x + 9) - 1(x + 3)) -: (2x(x + 3) - 5(x + 3))/(2x (x - 3) - 5(x - 3))`

`= ((x - 3)(2x - 1))/((x + 4)(2x - 1)) xx ((x + 4)(3x - 1))/((x + 3)(3x - 1)) -: ((x + 3)(2x - 5))/((x - 3)(2x - 5))`

 `= ((x - 3)(2x - 1))/((x + 4)(2x - 1)) xx ((x + 4)(3x - 1))/((x + 3)(3x - 1)) xx ((x - 3)(2x - 5))/((x + 3)(2x - 5))`

 `= ((x - 3))^2/((x + 3))^2`

    উত্তর: `((x - 3))^2/((x + 3))^2`

 গ. `(2x^2 - 7x + 3)/(2x^2 + 7x - 4), (3x^2 + 11x - 4)/(3x^2 + 8x - 3), (2x^2 + x - 15)/(2x^2 - 11x + 15)`

  এখানে,

  ১ম ভগ্নাংশের হর `= 2x^2 + 7x - 4`

                   `= 2x^2 + 8x - x - 4`

                   `= (2x(x + 4) - 1(x + 4))`

                   `= (x + 4)(2x - 1)`

  ২য় ভগ্নাংশের হর` = 3x^2 + 8x - 3`

                   ` = 3x^2 + 9x - x - 3`

                    `= 3x(x + 3) - 1(x + 3)`

                    `= (x + 3)(3x - 1)`

  ৩য় ভগ্নাংশের হর `= 2x^2 - 11x + 15`

                    `= 2x^2 - 6x - 5x + 15`

                    `= (2x(x - 3) - 5(x - 3))`

                    `= (x - 3)(2x - 5)`

     :. ভগ্নাংশগুলির হরগুলোর ল,সা,গু

        ` =  (x -: 4) (2x - 1) (x + 3)(3x - 1)(x - 3)(2x - 5))`

   প্রদত্ত ল,সা,গু কে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলির হর দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয়

            `(x + 3) (3x - 1)(x - 3)`

  `(2x - 5), (x + 4) (2x - 1) (x - 3) (2x - 5) (x + 4) (2x - 1) (x + 3) (3x - 1)`

 এখন, `(2x^2 - 7x + 3)/(2x^2 + 7x - 4) = ((2x^2 - 7x + 3) xx (x + 3)(3x - 1)(x - 3)(2x - 5))/((2x^2 + 7x - 4) xx (x + 3) (3x - 1) (x - 3)(2x - 5))`

 `= ((2x^2 - 7x + 3)(x^2 - 3^2)(6x^2 - 15x - 2x + 5))/((x + 4)(2x - 1)(x + 3)(3x - 1)(x - 3)(2x - 5))`

 `= ((x^2 - 9)(2x^2 - 7x + 3)(6x^2 - 17x + 5))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 `(3x^2 + 11x - 4)/(3x^2 + 8x - 3) = ((3x^2 + 11x - 4) xx (x + 4)(2x - 1)(x - 3)(2x - 5))/((3x^2 + 8x - 3) xx (x + 4)(2x - 1)(x - 3)(2x - 5))`

 `= ((3x^2 + 11x - 4)(2x^2 - x + 8x - 4)(2x^2 - 5x - 6x + 15))/((x + 3)(3x - 1)(x + 4)(2x - 1)(x - 3)(2x - 5))`

 `= ((3x^2 + 11x - 4)(2x^2 + 7x - 4)(2x^2 - 11x + 15))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 এবং `(2x^2 + x - 15)/(2x^2 - 11x + 15) = ((2x^2 + x - 15) xx (x + 4)(2x - 1)(x + 3)(3x - 1))/((2x^2 - 11x + 15) xx (x + 4)(2x - 1)(x + 3)(3x - 1))`

 `= ((2x^2 + x - 15)(2x^2 - x + 8x - 4)(3x^2 - x + 9x - 3))/((x - 3)(2x - 5)(x + 4)(2x - 1)(x + 3)(3x - 1))`

 `= ((2x^2 + x - 15)(2x^2 + 7x - 4)(3x^2 + 8x - 3))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 :.  নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো` = ((x^2 - 9)(2x^2 - 7x + 3)(6x^2 - 17x + 5))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 `= ((3x^2 + 11x - 4)(2x^2 + 7x - 4)(2x^2 - 11x + 15))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 `= ((2x^2 + x - 15)(2x^2 + 7x - 4)(3x^2 + 8x - 3))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

ক. ৩য় রাশি 

 `= (m^3 + n^3)/(m^3 - m^2 n + mn^2)`

 `= ((m + n)(m^2 - mn + n^2))/(m(m^2 - mn + n^2))`

 `= (m + n)/m`

  উত্তর:  `(m + n)/m`

 খ. নির্ণেয় গুণফল 

 ` = (1 - z/(x + y)) (x/(x + y + z) + x/(x + y - z))`

 `= ((x + y - z)/(x + y)) {(x(x + y - z) + x(x + y + z))/((x + y + z)(x + y - z))}`

 `= ((x + y - z))/((x + y)) xx (x^2 + xy - zx + x^2 + xy + zx)/((x + y + z)(x + y - z))`

 `= (2x^2 + 2xy)/((x + y)(x + y + z))`

 `= (2x(x + y))/((x + y)(x + y + z))`

 `= (2x)/(x + y + z)`

  উত্তর:  `(2x)/(x + y + z)`

 
  গ. `(mn)/(m - n), (m^3 + n^3)/(m^3 - m^2 n + mn^2), (m^3 - n^3)/(m^2 + mn + n^2)`

   এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর = m - n

   ২য় ভগ্নাংশের হর = `m^3 - m^2 n + mn^2`

                     =` m(m^2 - mn + n^2)`

  ৩য় ভগ্নাংশের হর =` m^2 + mn + n^2`

  :. হরগুলোর ল,সা,গু `= m(m - n) (m^2 + mn + n^2) (m^2 - mn + n^2)`

  প্রাপ্ত ল,সা,গু কে প্রদ্ত্ত ভগ্নাংশগুলির হর দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় যথাক্রমে

  `m(m^2 + mn + n^2) (m^2 - mn + n^2), (m - n)(m^2 + mn + n^2) m(m - n) (m^2 - mn + n^2)`

  এখন, 

 :. `(mn)/(m - n) = (mn xx m(m^2 + mn + n^2)(m^2 - mn + n^2))/((m - n) xx m(m^2 + mn + n^2) (m^2 - mn + n^2))`

  `= (m^2 n(m^2 - mn + n^2) (m^2 + mn + n^2))/(m(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))`

 `(m^3 + n^3)/(m^3 - m^2 n + mn^3) = ((m^3 + n^3) xx (m - n) (m^2 + mn + n^2))/((m^3 - m^2 n + mn^2) xx (m - n)(m^2 + mn + n^2))`

   `= ((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))/(m(m^2 - mn + n^2) (m^3 - n^3))`

  এবং `(m^3 - n^3)/(m^2 + mn + n^2) = ((m^3 - n^3) xx m(m - n) (m^2 - mn + n^2))/((m^2 + mn + n^2) xx m(m - n) (m^2 - mn + n^2))`

  `= (m(m - n)(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))/(m(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))`

  নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো

 ` (m^2 n(m^2 - mn + n^2)(m^2 + mn + n^2))/(m(m^2 - mn + n^2) (m^3 - n^3))`

 `= ((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))/(m(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3)), (m(m - n)(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))/(m(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))`

সমাধান:

ক. ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য

  (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা

  বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

 :.  বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০)/(৯০)` টাকা

 :.  বিক্রয়মূল্য ৪,০০০  টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০ xx ৪,০০০)/(৯০)` টাকা

                                         = ৪৪৪৪.৪৪ টাকা

 :. ক্ষতির পরিমাণ = (৪৪৪৪.৪৪ - ৪০০০) টাকা

                    = ৪৪৪.৪৪ টাকা

   উত্তর: ৪,০০০ টাকা।

  খ. ‘ক’ থেকে পাই,

    মোবাইলটির ক্রয়রমূল্য = ৪৪৪৪.৪৪ টাকা

     ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য

      = (১০০ + ১০) টাকা

      = ১১০ টাকা

    :. ক্রয়মূল্য ১ হলে বিক্রয়মূল্য `(১১০)/(১০০)` টাকা

    :. ৪৪৪৪.৪৪   ,,          ,,      `(১১০ xx ৪৪৪৪.৪৪)/(১০০)` টাকা

                        = ৪৮৮৮.৮৮ টাকা

   :. মোবাইলটি বিক্রয় করতে হবে ৪৮৮৮.৮৮ টাকায়।

    উত্তর: ৪৮৮৮.৮৮ টাকা

 গ. ক্রয়মূল্যের সমান টাকা ব্যাংকে জমা রাখা হলো।

   অর্থাৎ আসল p = টাকা

   মুনাফার হার r = ৮% =` ৮/(১০০) = ২/(২৫)`

   সময় n = ৫ বছর

   :. মুনাফা I = prn

           = `৪৪৪৪.৪৪ xx ৫ xx ২/(২৫)` টাকা

           = ১৭৭৭.৭৮ টাকা

  :. মনাফা-আসল = আসল + মুনাফা

                    = (৪৪৪৪.৪৪ + ১৭৭৭.৭৮) টাকা

                    = ৬২২২.২২ টাকা

     উত্তর: ৬২২২.২২ টাকা।

সমাধান:

ক. ২০% = `(২০)/(১০০) = ১/৫ = ১ : ৫`

  উত্তর: ১ : ৫

 খ. খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২০% লাভে 

     বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা বা ১২০ টাকা

  খুচরা বিক্রেতার

  বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

  :. বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০)/(১২০)` টাকা

   :. বিক্রয়মূল্য ৫৭৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০ xx ৫৭৬)/(১২০)` টাকা

                                         = ৪৮০ টাকা

  :. পাইকারি বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা 

   পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২০% লাভে

   বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা বা ১২০ টাকা।

   পাইকারি বিক্রেতার,

   বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

   :. বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০)/(১২০)` টাকা

   :. বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০ xx ৪৮০)/(১২০)` টাকা

                                   = ৪০০ টাকা

    :. পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা

   উত্তর: ৪০০ টাকা


 গ. দেওয়া আছে, খুচরা মূল্য ৫৭৬ টাকা

  ‘খ’ থেকে পাই, পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা

 :. খুচরা মূল্য পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য অপেক্ষা বেশি

           = (৫৭৬ - ৪০০) টাকা

           = ১৭৬ টাকা

   :. পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য অপেক্ষা খুচরা মূল্য শতকরা বেশি হয় `(১৭৬)/(৪০০) xx ১০০% = ৪৪%`

                     উত্তর: ৪৪%।

সমাধান:

ক.` ৫% = ৫ ১/(১০০) = ১/(২০) = ১ : ২০`

   উত্তর: ১ : ২০

 খ. ডালের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ৫% ক্ষতিতে 

   বিক্রয়মূল্য (১০০ - ৫)  টাকা বা ৯৫ টাকা।

   ডালের বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

  :. ডালের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০)/(৯৫)` টাকা
 
  :. ডালের বিক্রয়মূল্য ২৩৭৫.০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০ xx ২৩৭৫.০০)/(৯৫)` টাকা

                                          = ২৫০০ টাকা

  :. দোকানদারের ক্ষতি হলো (২৫০০ - ২৩৭৫) টাকা

                    = ১২৫ টাকা

   উত্তর: ১২৫ টাকা।

 গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই,

     ডালের ক্রয়মূল্য ২৫০০ টাকা।

    আবার, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ৬% লাভে বিক্রয়মূল্য

    (১০০ + ৬) টাকা = ১০৬ টাকা।

  ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬ টাকা
 
  :.  ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য `(১০৬)/(১০০)` টাকা
 
  :. ক্রয়মূল্য ২৫০০  টাকা হলে বিক্রয়মূল্য `(১০৬ xx ২৫০০)/(১০০)` টাকা

                               = ২৬৫০ টাকা

  :. ঐ ডাল ২৬৫০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে।

  উত্তর: ২৬০০ টাকা।