ক. দেওয়া আছে,

  `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x - sqrt(1 - x))`  = p..........(i)


    p = 1 হলে (i) থেকে পাই,

   `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x - sqrt(1 - x)) = 1`

     বা, `sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) = sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)`

     বা,`sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) = 0`

     বা, `2sqrt(1 - x) = 0`

     বা, `sqrt(1 - x) = 0`

       1 - x = 0 [বর্গ করে] 

        :. x = 1


   খ.


  গ. দেওয়া আছে, 
    `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)) = p = (2 + sqrt(2))/(2 - sqrt(2))`

      বা, `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))`

      বা,`(2 + sqrt(2 + 2) - sqrt(2))/(2 + sqrt(2 - 2) + sqrt(2))` [যোজন-বিয়োজন করে]

      বা,`(2 sqrt(1 + x))/(2 sqrt(1 - x)) = 4/(2 sqrt(2))`

      বা, `(sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x)) = 2/sqrt(2)`

       বা, ` (sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x)) = sqrt(2)`

        বা, `(1 + x)/(1 - x) = 2` [বর্গ করে]

        বা,  1 + x = 2(1 - x)

         বা, 1 + x = 2 - 2x

         বা,  x + 2x = 2 - 1

          বা, 3x = 1

         `:. x = 1/3` (Ans)

ক. প্রশ্নমতে, d : e = e : f = f : g

   বা, `d/e = e/f = f/g`

   ধরি, `d/e = e/f = f/g = k`

   এখন, ` f/g = k` ` f = gk`

  আবার,  `e/f = k` `e = fk = gk.k = gk^2`

   এবং `d/e = k` `d = ek = gk^2.k = gk^3`

    d, e, f কে g এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো।

  খ. ‘ক’ থেকে পাই, `f = gk.e = gk^2` `d = gk^3`

 বামপক্ষ 
    =`(d^2 + e^2 + f^2) (e^2 + f^2 + g^2)`

    =`{(gk^3)^2 + (gk^2)^2 + (gk)^2} {(gk^2)^2 + (gk)^2 + g^2}`

     =` { g^2k^6 + g^2k^4 + g^2k^2} {g^2k^4 + g^2k^2 + g^2}`

     =`g^2k^2 (k^4 + k^2 + 1) xx g^2 (k^4 + k^2 + 1)`

     =` g^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`

  ডানপক্ষ 
    = `(de + ef + fg)^2`

    =` (gk^3.gk^2 + gk^2.gk + gk.g)^2`

     =`(g^2k^5 + d^2k^3 + g^2k)^2`

     =` {g^2k (k^4 + k^2 + 1)}^2`

     =` g^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`

    :. `(d^2 + e^2 + f^2) (e^2 + f^2 + g^2) = (de + ef + fg)^2` (প্রমাণিত)

  গ. দেওয়া আছে, 
    `m^2 - (2m)/n  + 1 = p`

      এবং p = 0

     :. `m^2 - (2m)/n  + 1 = 0`

     বা, `m^2 + 1 = (2m)/n`

      বা, `1/n = (m^2 + 1)/(2m)`

      বা, `(1 + n)/(1 - n) = (m^2 + 1 + 2m)/(m^2 + 1 - 2m)` [যোজন ও বিয়োজন করে]

      বা, `(1  + n)/(1 - n) = (m + 1)^2/(m - 1)^2`

      বা, ` (sqrt(1 + n))/(sqrt(1 - n)) = (m + 1)/(m - 1)`[বর্গ মূল করে]

      বা, `(m + 1 + m - 1)/(m + 1 - m + 1) = (sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))` [পুনরায় যোজন

                  বিয়োজন করে]

       বা, `(2m)/2 = (sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))`

       :. m = `(sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))`   (প্রমাণিত)

ক. সমানুপাত: যদি চারটি রাশির প্রথম ও ‍দ্বিতীয় রাশির অনুপাত 

  তৃতীয় রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে উক্ত অনুপাতকে সমানুপাত বলে।

  ‍a, b, c ও d চারটি রাশি হলে, a: b = c : d কে সমানুপাত বলে।

  ক্রমিক সমানুপাতী:  a, b, ও c তিনটি সমজাতীয় রাশি হলে এবং

  a: b = b : c হলে, উক্ত অনুপাতকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

  a, b, ও c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি `b^2 = ac` হয়।

 খ. দেওয়া আছে, a, b, c, d  ক্রমিক সমানুপাতী

    :. `a/b = b/c = c/d`

     `b^2 = ac`

 এখন বামপক্ষ 
    = `(a + b)^2/(b + c)^2`

    = `(a^2 + 2ab + b^2)/(b^2 + 2bc + c^2)`

    =  `(a^2 + 2ab + ac)/(ac + 2bc + c^2) [:. b^2 = ac` ]

    =  `(a(a + 2b + c)/(c(a + 2b + c)`

    = `a/c`

  ডানপক্ষ   
    =  `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (a^2 + ac)/(ac + c^2) = (a(a + c))/(c(a + c)) = ac`

    :.` ((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`  (প্রমাণিত)

 
  গ.  যেহেতু a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী 

      :. `a/b = b/c = c/d`

  এখন, `a/b = b/c` এবং `b/c = c/d`এবং `a/b = c/d`

    বা, `ac = b^2`

    এবং, `bd = c^2`

    এবং ad = bc

 ডানপক্ষ 
    =` (b - c)^2 + (a - c)^2 + (b - d)^2`

    =` b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2`

    =` 2b^2 + 2c^2 + a^2 + d^2 - 2bc - 2ac - 2bd`

    =` 2.ac + 2.bd + a^2 + d^2 - 2bc - 2ac - 2bd`

    =` a^2 - 2bc + d^2`

    =` a^2 - 2ad + d^2 [:. ad = bc`]

    =` (a - d)^2` বামপক্ষ

    :.` (a - d)^2 = (b - c)^2 + (a - c)^2 + (b - d)^2` (দেখানো হলো)

ক. দেওয়া আছে, 
     `(a^3 + b^3)/(a - b + c) = a(a + b)`

     বা,  `((a + b) (a^2 - ab +b^2))/(a - b + c) = a(a + b)`

     বা, `(a^2 - ab + b^2)/(a - b + c) = a` [(a + b)]

     বা,` a^2 - ab + b^2 = a(a - b + c)`

     বা,  `a^2 - ab + b^2 = a^2 - ab + ac`

     বা, `a^2 - ab + b^2 - a^2 + ab = ac`

     বা, `b^2 = ac`

    `:. b^2 = ac` (প্রমাণিত)

   
 খ. ‘ক’ থেকে পাই, `b^2 = ac` ..............(i)

  এখন বামপক্ষ 
     `= ((a + b)/(b + c))^2`

     `= (a^2 + 2ab + b^2)/(b^2 + 2bc + c^2)`

     `= (a^2 + 2ab + ac)/(ac + 2bc + c^2)` [(i) নং থেকে]

     `= (a(a + 2b + c))/(c(a + 2b + c)) = a/c`

  ডানপক্ষ
    `= (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

    `= (a^2 + ac)/(ac + c^2)`  [(i) নং থেকে]

    `= (a(a + c))/(c(a + c)) = a/c`

     :. `((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`  (প্রমাণিত)

  
 গ. ‘ক’ থেকে পাই, `b^2 = ac` ............(i)

   `:. (a - b)^2/a = (a^2 - 2ab + b^2)/a`

                `= (a^2 - 2ab + ac)` [(i) থেকে]

                `= a - 2b + c`.............(ii)

   আবার  `(b - c)^2/c = (b^2 - 2bc + c^2)`

             `= (ac - 2bc + c^2)/c` [(i) থেকে]

               = a - 2b + c ...............(iii)

          সমীকরণ  (ii) ও (iii) নং হতে পাই,

       a - 2b + c = `(a - b)^2/a = (b - c)^2/c`   (প্রমাণিত)

ক. ‍যদি a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হয় তবে` a/b = b/c`........(i)

   আবার b, c, d যদি ক্রমিক সমানুপাতী হয় তবে `b/c = c/d` .......(ii)

    (i) ও (ii) নং হতে পাই, `a/b = b/c = c/d`

    যা, একটি ক্রমিক সমানুপাতী

     :.` a/b = b/c = c/d` নির্ণেয় শর্ত।

 
 খ. ‘ক’ হতে পাই,` a/b = b/c = c/d`.............(i)

    ধরি, `a/b = b/c = c/d = k`

    বা, a = bk, b = ck, c = dk.........(ii)

  বামপক্ষ 
    =` (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3)`

    =` (b^3k^3 + b^3)/(c^3k^3 + c^3)` [:. a = bk এবং b = ck]

    =` (b^3(k^3 + 1))/(c^3(k^3 + 1)) = b^3/c^3`

  ডানপক্ষ 
    =` (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)`

    =`(b^3 + (b/k)^3)/(c^3 + (c/k)^3)` [:. b = ck এবং c = dk]

    =` (b^3 (1 + 1/k^3))/(c^3 (1 + 1/k^3)) = b^3/c^3`

    `:. (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)` (দেখানো হলো)


 গ. ‘খ’ হতে পাই, a = bk, b = ck, c = dk

   :. বামপক্ষ 
       =` (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2)`

       =` (b^2k^2 + c^2k^2 + d^2k^2) (b^2 + c^2 + d^2)`

       =` k^2(b^2 + c^2 + d^2)`

  ডানপক্ষ  
    =` (ab + bc + cd)^2`

    =` (bk.b + ck.c + dk.d)^2`

    =` (b^2k + c^2k + d^2k^2)^2`

    =`k^2(b^2 + c^2 + d^2)`

    = বামপক্ষ

    :.` (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2` (দেখানো হলো)