(i) সমাধান : দেওয়া আছে, `x = 3, y = 5`

            দেখাতে হবে যে, `= y^2 - x^2 = (x + y) (y - x)`

                   বামপক্ষ   `= y^2 - x^2`

                              `= (5)^2 - (3)^2 ;`[x y]

                              `= (5 xx 5) - (3 xx 3)`

                              `= 25 - 9`

                              `= 16`


           ডানপক্ষ`= (x + y) (y - x)`

                   `= (3 + 5) (5 - 3) ;`[x y]

                   `= 8 xx 2`

                   `= 16`

                `:. y^2 - x^2 = (x + y)(x - x)`(দেখানো হলো)

(ii) দেওয়া আছে,`x = 3, y = 5`

  দেখাতে হবে যে,`(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy`

          বামপক্ষ`= (x + y)^2`

                  `= (3 + 5)^2 ;` [x y]

                  `= (8)^2 = 8 xx 8 = 64`

                 

          ডানপক্ষ `= (x - y) + 4xy`

                  `= (3 - 5)^2 + 4 xx 3 xx 5 ;`[x ও y এর মান বসিয়ে ]

                  `= (-2)^2 + 60`

                  `= (-2) xx (- 2) + 60`

                  `= 4 + 60 = 64`

            `:. (x + y)^2 = (x - y) + 4xy`( দেখানো হলো )


(iii) সমাধান : দেওয়া আছে, `y = 5, z = 2`

    দেখাতে হবে যে,`(y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2`
   
                           বামপক্ষ`= (y + z)^2`

                                   `= (5 + 2)^2 ;` [y z]

                                   `= (7)^2 = 7 xx 7 = 49`



                            ডানপক্ষ`= y^2 + 2yz + z^2`

                                     `= (5)^2 + 2 xx 5 xx 2 + (2)^2`[y ও z এর মান বসিয়ে]

                                     `= (5 xx 5) + 20 + (2 xx 2)`
   
                                     `= 25 + 20 + 4 = 49`

                                   `:. (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2`(দখানো হলো)


(iv) সমাধান : দেওয়া আছে, `x = 3, z = 2`

   দেখাতে হবে যে,`(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2`
 
                          বামপক্ষ`= (x + z)^2`

                                  `= (3 + 2)^2 ;`[x z]

                                  `= (5)^2`

                                  `= 5 xx 5`

                                 `= 25`

                         ডানপক্ষ`= x^2 + 2xz + z^2`

                                 `= (3)^2 + 2 xx 3 xx 2 + (2)^2`[x z]

                                 `= (3 xx 3) + 12 + (2 xx 2)`

                                 `= 9 + 12 + 4`

                                 `= 25`

               `:. (x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2`(দেখানো হলো)

ক.  সূচক ও ‍ভিত্তি : কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, 

            সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয় ।

            যেমন `- 8 = 2 xx 2 xx 2 = 2^3` এখানে 2 গুণ আকারে আছে 3 বার ।

          `8 = 2^3->`সূচক   [:. 2এর সূচক 3 এবং ভিত্তি 2]
         
           `darr`ভিত্তি



      খ. দেওয়া আছে,a = 2 এবং b = 3

 `:. a^4 + 2ab + b^4 = 2^4 + 2 xx 2 xx 3 + 3^4`[মান বসিয়ে]

                             `= (2 xx 2 xx 2 xx 2) + (2 xx 2 xx 3) + (3 xx 3 xx 3 xx 3)`

                             `= 16 + 12 + 81 = 109`

গ. দেওয়া আছে, `x = 5, y = 3`

  (ii) নং এর ১ম রাশি `= (x + y)^2 `

                   `= (5 + 3)^2`

                   `= 8^2 = 8 xx 8 `

                   `= 64`

  এবং ২য় রাশি`= (x - y)^2 + 4xy`

                  `= (5 - 3)^2 + 4 xx 5 xx 3`[মান বসিয়ে]

                  `= 2^2 + 60`

                   `= 2 xx 2 + 60`

                   `= 4 + 60 = 64`

:. x = 5, y = 3 হলে, (ii) এর রাশি দুটির মান সমান ।

ক. এখানে, `3a xx 4a = 3 xx a xx 4 xx a`

                        `= 3 xx 4 xx a xx a`

                       `= 12 xx a^2`


                        :. a এর সূচক 2

খ.  `4a xx 4b xx 3a xx 5c xx 3b`

    `= 4 xx a xx 4 xx b xx 3 xx a xx 5 xx c xx 3 xx b`

    `= 4 xx 4 xx 3 xx 5 xx 3 xx a xx a xx b xx b xx c`

    `= 720 xx a^2 xx b^2 xx c`

    `= 720a^2 b^2 c`

গ. দেওয়া আছে, a = 2, b = 3 c = 1

:. ’খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল`= 720a^2 b^2 c`

   `= 720 xx (2)^2 xx (3)^2 xx 1`[মান বসিয়ে]

   `= 720 xx 2 xx 2 xx 3 xx 3 xx 1`

   `= 720 xx 36`

   `= 25920`

ক. প্রদত্ত রাশিটি, `2a xx 3b xx 6a xx 5b`

                `= 2 xx a xx 3 xx b xx 6 xx a xx 5 xx b`

                `= 2 xx 3 xx 6 xx 5 xx a xx a xx b xx b`

                `= 180 xx a^2 xx b^2`

                `= 180a^2 b^2`


খ. দেওয়া আছে, `a = 1,b = 2`

প্রদত্ত রাশিটির সরল মান `= 180a^2 b^2`

                         `= 180 xx (1)^2 xx (2)^2`[মান বসিয়ে]

                         `= 180 xx 1 xx 1 xx 2 xx 2`

                         `= 180 xx 4`

                         `= 720`


গ.  দেওয়া আছে,`a = 2, b = 4`

:. ’খ’ হতে প্রাপ্ত ফলাফল`= 180a^2 b^2`

                         `= 180 xx (2)^2 xx (4)^2`

                         `= 180 xx 2 xx 2 xx 4 xx 4`

                         `= 180 xx 64`

                         `= 11520`


:. ‘গ’ এর ফলাফল - ‘খ’ এর ফলাফল

           `= 11520 - 720`

           `= 10800`

:. খ এর প্রাপ্ত ফলাফল হতে 10800 বেশি ।

ক. প্রথম রাশি `= 2a xx 2a`

               `= (2 xx 2) xx (a xx a)`

               `= 4a^2`

প্রথম রাশিতে a এর ঘাত 2 এবং সাংখ্যিক সহগ 4

খ. প্রথম রাশি + দ্বিতীয় রাশি - তৃতীয় রাশি

  `= 2a xx 2a + 3b xx 3b - 2 xx 2a xx 3b`

 `= 4a^2 + (3 xx 3) (b xx b) - (2 xx 2 xx 3) (a xx b)`

 `= 4a^2 + 9b^2 - 12ab`

:. নির্ণেয় সরল `: 4a^2 + 9b^2 - 12ab`