প্রদত্ত সমীকরণ

    x - y = 2a.................(i)

    ax + by =` a^2 + b^2`...........(ii)

     সমীকরণ  (i) হতে পাই,

      - y = 2a - x

    বা, y = x - 2a...............(iii)

         [ উভয় পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে ] 

     সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     ax + b (x - 2a) =` a^2 + b^2`

     বা, ax + bx - 2ab = `a^2 + b^2`

     বা, ax + bx =` a^2 + b^2 + 2ab`

     বা, x (a + b) =` (a + b)^2`

     বা, x =` (a + b)^2/(a + b)`

        :. x = a + b

       x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

       y = a + b - 2a

       :. y = b - a

       :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (a + b, b - a)

‍ প্রদত্ত সমীকরণ

     ax + by = ab............(i)

    bx + ay = ab............(ii)

     সমীকরণ (i) হতে পাই,

       by = ab - ax

     বা, y =` (ab - ax)/b`.................(iii)

     সমীকরণ (iii) হতে y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     bx + a. `(ab - ax)/b` = ab

      বা, `(b^2x + a^2b - a^2x)/b = ab`

      বা, `b^2x + a^2b - a^2x = ab^2`

      বা, `b^2x - a^2x = ab^2 - a^2b`

      বা, `x (b^2 - a^2) = ab (b - a)`

      বা, `x = (ab(b - a))/((b + a)(b - a))`

       `:. x = (ab)/(a + b)`

       সমীকরণ (iii) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

      `y = (ab - a. (ab)/(a + b))/b`

       বা, y =` (ab - (a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y =` ((ab (a + b) - a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y =` ((a^2b + ab^2 - a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y = `((ab^2)/(a + b))/b`

        বা, y =` (ab^2)/(a + b) xx 1/b`

         বা, y =` (ab)/(a + b)`

      :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) =` ((ab)/(a + b), (ab)/(a + b))`

প্রদত্ত সমীকরণ

   ax - by = ab.............(i)

   bx - ay = ab..............(ii)

    সমীকরণ (i) থেকে পাই,

            - by = ab - ax

       বা, by = ax - ab

               [- 1 দ্বারা উভয়ই পক্ষকে গুণ করে ]

     `y = (ax - ab)/b`...............(iii)

    সমীকরণ (iii) হতে y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     `bx - a. (ax - ab)/b`= ab

     বা, `bx - (a (ax - ab))/b` = ab

     বা, `(b^2x - a (ax - ab))/b = ab`

     বা, `(bx^2 - a^2x + a^2b)/b = ab`

      বা, `b^2x - a^2x + a^2b = ab^2`

      বা, `b^2x - a^2x = ab^2 - a^2b`

       বা, `x (b^2 - a^2) = ab (b - a)`

        বা, `x = (ab(b - a))/((b + a)(b - a))`

          `:. x = (ab)/(a + b)`

       x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

        `y = (a. (ab)/(a + b)  - ab)/b`

        বা, `y = (a^2b - (ab(a + b))/(a + b))/b`

        বা, `y = ((a^2b - a^2b - ab^2)/(a + b))/b`

        বা, `y = ((- ab^2)/(a + b))/b`

        বা, `y = (- ab^2)/(a + b) xx 1/b`

          `:. y = - (ab)/(a + b)`

      :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = `((ab)/(a + b), - (ab)/(a + b))`

প্রদত্ত সমীকরণ
 
    ax - by = a - b................(i)

    ax + by = a + b...............(ii)

    সমীকরণ (ii) হতে পাই,

     by = a + b - ax

     বা, y = `(a + b - ax)/b`................(iii)

     সমীকরণ (iii) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

     `ax - b. (a + b - ax)/b = a - b`

      বা,  `ax - (a + b - ax) = a - b`

      বা, `ax - a - b + ax = a - b`

      বা, `ax + ax = a - b + a + b`

      বা, 2ax = 2a

      বা, x = `(2a)/(2a)`

       :. x = 1

       x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

       `y = (a + b - a.1)/b`

       বা, `y = (a + b - a)/b`

       বা, `y = b/b`

          `:. x = 1`

     :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (1, 1)

প্রদত্ত সমীকরণ

  `1/x + 1/y = 5/6`................(i)

  `1/x - 1/y = 1/6`................(ii)

     সমীকরণ (i) হতে পাই,

   `1/y = 5/6 - 1/x`..................(iii)

    সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত `1/y` এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     `1/x - 5/6 + 1/x = 1/6`

     বা, `1/x + 1/x = 1/6 + 5/6`

     বা, `2/x = 6/5`

      বা, `2/x = 1`

        :. x = 2

       x এর মান (iii) সমীকরণে বসিয়ে পাই,

       `1/y = 5/6 - 1/2`

       বা, `1/y = (5 - 3)/6`

       বা, `1/y = 2/6`

       বা, `1/y = 1/3`

          :. y = 3

      :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (2, 3)