সমাধান:

ক. ১২ টি কলার ক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা

  :.  ১ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬)/(১২)` টাকা

  :. ১০০ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬ xx ১০০)/(১২)` টাকা

                             = ৩০০ টাকা

  :. যশোর থেকে প্রতিশ কলা ৩০০ টাকায় ক্রয় করেছিল।

   উত্তর: ৩০০ টাকা।

 
  খ. ১২, ১৮ ও ১৫ এর ল,সা,গু = ১৮০

   মনে করি প্রত্যেক দরের ১৮০ টি করে কলা ক্রয় করা হলো।

   ১২ টি কলার ক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা

   :. ১ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬)/(১২)` টাকা

   :. ১৮০ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬ xx ১৮০)/(১২)` টাকা

                           = ৫৪০ টাকা

   ১৮ টি কলার ক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা

   :. ১৮ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬)/(১৮)` টাকা

   :. ১৮০ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬ xx ১৮০)/(১২)` টাকা

                                 = ৩৬০ টাকা

   :. (১৮০ + ১৮০) বা ৩৬০ টি কলার ক্রয়মূল্য

      = (৫৪০ + ৩৬০) টাকা

      = ৯০০ টাকা

   আবার, ১৫ টি কলার বিক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা

   :. ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য `(৩৬)/(১৫)` টাকা
 
   :.  ৩৬০ টি কলার বিক্রয়মূল্য `(৩৬ xx ৩৬০)/(১৫)` টাকা

                                 = ৮৬৪ টাকা

   এখানে, ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্য

   ক্ষতি = (৯০০ - ৮৬৪) টাকা = ৩৬ টাকা

   ৯০০ টাকায় ক্ষতি হয় ৩৬ টাকা

   :. ১ টাকায় ক্ষতি হয় `(৩৬)/(৯০০)`  টাকা

   :. ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় `(৩৬ xx ১০০)/(৯০০)` টাকা

                            = ৪ টাকা

    উত্তর: ৪% ক্ষতি ।

  গ. ‘খ’ থেকে পাই, ৩৬০টি কলার ক্রয়মূল্য ৯০০ টাকা

    :. ১টি কলার ক্রয়মূল্য `(৯০০)/(৩৬০)` টাকা = ২.৫ টাকা

    :. ৪টি কলার ক্রয়মূল্য = (২.৫ xx ৪) টাকা = ১০ টাকা

   ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য (১০০ + ২৫) টাকা বা ১২৫ টাকা

  :.  ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য `(১২৫)/(১০০)` টাকা 

 :.  ক্রয়মূল্য ১০ টাকা হলে ২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য` (১২৫ xx ১০)/(১০০)`  টাকা 

  = ১২.৫০ টাকা

  উত্তর: ১২.৫০ টাকা

ক. শতকরা বার্ষিক r% মুনাফায় p টাকার n বছরের মুনাফা I এবং চক্রবৃদ্ধি মূলধন C হলে,

   সরলমুনাফা I = prn

  এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে C = `p(১ + r)^n`

  :. চক্রবৃদ্ধি মুনাফা =`p (১ + r)^n - p`

 খ. আসল + ৫ বছরের মুনাফা = ৩০০০০ টাকা

     আসল + ৩ বছরের মুনাফা = ২৮০০০ টাকা
    -----------------------------------------------
 (বিয়োগ করে) ২ বছরের মুনাফা = ২০০০ টাকা

  :. ১   ,,         ,,      = `(২০০০)/২` টাকা

  :. ৩   ,,         ,,      = `(২০০০ xx ৩)/২` টাকা

                             = ৩০০০ টাকা

 :. আসল = মুনাফা-আসল-মুনাফা

           = (২৮০০ - ৩০০০) টাকা

           = ২৫০০০ টাকা

  :. ২৫০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা ৩০০০ টাকা

  :. ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা `(৩০০০)/(২৫০০০ xx ৩)`টাকা

  :. ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা` (৩০০০ xx ১০০)/(২৫০০ xx ৩)` টাকা

                                  = ৪ টাকা

  :. মুনাফার হার ৪%।

  গ. ‘খ’ থেকে পাই, মুনাফার হার r = ৪% =` ৪/(১০০)`

    সময় n = ৫ বছর

    মুনাফা-আসল A = ৪৮০০০ টাকা

    ধরি মূলধন = p টাকা

    আমরা জানি, A = p + I

     বা,  p + I = A

     বা, P + prn = A

     বা, p(১ + rn) = A

     বা, `p(১ + ৪/(১০০) xx ৫) = ৪৮০০০`

     বা, `p(১ + ১/৫) = ৪৮০০০`

     বা, `p((৫ + ১)/৫) = ৪৮০০০`

     বা, `৬p = ৪৮০০০ xx ৫`

     বা, `p = (৪৮০০০ xx ৫)/৬`

      :. p = ৪০০০০

     :. ব্যাংকে ৪০০০০ টাকা জমা রাখতে হবে।

    উত্তর: ৪০০০০ টাকা।

ক. নির্ণেয় গুণফল

    `= (9x^2y^2)/(7y^2z^2) xx (5b^c^2)/(3z^2x^2) xx (7c^2a^2)/(x^2y^2)`

     `= (9x^2y^2 xx 5b^2c^2 xx 7c^2a^2)/(7y^2z^2 xx 3z^2x^2 xx x^2y^2)`

    ` = (15a^2b^2c^4)/(x^2y^2z^4)`

       উত্তর: `(15a^2b^2c^4)/(x^2y^2z^4)`


  খ. নির্ণেয় গুণফল

   `= (16a^2b^2)/(21z^2) xx (28z^4)/(9x^3y^4) xx (3y^7z)/(10x)`

   `= (16a^2b^2 xx 28z^4 xx 3y^2z)/(21z^2 xx 9x^3y^4 xx 10x)`

   `= (16 xx 28 xx 3 xx a^2b^2y^7z^5)/(21 xx 9 xx 10 xx x^4y^4z^2)`

   `= (32a^2b^2y^3z^3)/(45x^4)` 

    উত্তর:` (32a^2b^2y^3z^3)/(45x^4)` 


 গ. নির্ণেয় গুণফল
   
    `= (yz)/x^2 xx (zx)/y^2 xx (xy)/z^2`

    `= (x^2y^2z^2)/(x^2y^2z^2)`

      = 1

      উত্তর: 1

 ঘ.   নির্ণেয় গুণফল
   
     `= (x - 1)/(x + 1) xx (x - 1)^2/(x^2 + x) xx x^2/(x^2 - 4x + 5)`

     `= (x - 1)/(x + 1) xx ((x - 1) (x - 1))/(x (x + 1)) xx x^2/(x^2 - 4x + 5)`

     `= (x (x - 1))^3/((x + 1)^2 (x^2 - 4x + 5))`

     উত্তর: `(x (x - 1))^3/((x + 1)^2 (x^2 - 4x + 5))`


 ঙ.  নির্ণেয় গুণফল

  `= (x^4 - y^4)/(x^2 - 2xy + y^2) xx (x - y)/(x^3 + y^3) xx (x + y)/(x^3 + y^3)`

  `= ((x^2 + y^2) (x^2 - y^2))/(x - y)^2 xx (x - y)/((x + y) (x^2 - xy + y^2)) xx (x + y)/((x + y) (x^2 - xy + y^2))`

   `= ((x^2 + y^2) (x + y) (x - y))/((x - y) (x - y)) xx (x - y)/((x + y) (x^2 - xy + y^2)) xx (x + y)/((x + y) (x^2 - xy + y^2))`

   `= (x^2 + y^2)/(x^2 - xy + y^2)^2`

      উত্তর:` (x^2 + y^2)/(x^2 - xy + y^2)^2`

 চ.নির্ণেয় গুণফল
 
   `= (1 - b^2)/(1 + x) xx (1 - x^2)/(b + b^2) xx (1 + (1 - x)/x)`

   `= ((1 + b) (1 - b))/(1 + x) xx ((1 + x) (1 - x))/(b (1 + b)) xx (x + 1 - x)/x`

   `= ((1 - b) (1 - x))/b xx 1/x`

   `= ((1 - b) (1 - x))/(bx)`

      উত্তর:` ((1 - b) (1 - x))/(bx)`


 ছ. নির্ণেয় গুণফল

   `= (x^2 - 3x + 2)/(x^2 - 4x + 3) xx (x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 7x + 12) xx (x^2 - 16)/(x^2 - 9)`

   `= (x^2 - 2x - x + 2)/(x^2 - 3x - x + 3) xx (x^2 - 3x - 2x + 6)/(x^2 - 4x - 3x + 12) xx (x^2 - 4^2)/(x^2 - 3^2)`

   `= (x(x - 2) - 1(x - 2))/(x(x - 3) - 1(x - 3)) xx (x(x - 3) - 2(x - 3))/(x(x - 4) - 3 (x - 4)) xx ((x + 4) (x - 4))/((x + 3) (x - 3))`

   `= ((x - 2) (x - 1))/((x - 3) (x - 1)) xx ((x - 3) (x - 2))/((x - 4)(x - 3)) xx ((x + 4) (x - 4))/((x + 3) (x - 3))`

   `= ((x - 2) (x - 2) (x + 4))/((x - 3)(x + 3)(x - 3))`

   `= ((x - 2)^2 (x + 4))/((x - 3)^2 (x + 3))`

     উত্তর: ` ((x - 2)^2 (x + 4))/((x - 3)^2 (x + 3))`

 জ. নির্ণেয় গুণফল

   `= (x^3 + y^3)/(a^2b + ab^2 + b^3) xx (a^3 - b^3)/(x^2 - xy + y^2) xx (ab)/(x + y)`

   `= ((x + y)(x^2 - xy + y^2))/(b(a^2 + ab + b^2)) xx ((a - b) (a^2 + ab + b^2))/(x^2 - xy + y^2) xx (ab)/(x + y)`

   `= a (a - b)`

     উত্তর:` a (a - b)`
 
 ঝ. নির্ণেয় গুণফল

  ` = (x^3 + y^3 + 3xy (x + y))/(a + b)^3 xx (a^3 + b^3 + 3ab (a + b))/(x^2 - y^2) xx ((x - y))^2/((x + y))^2`

   `= (x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2)/(a + b)^3 xx (a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2)/(x^2 - y^2) xx (x - y)^2/(x + y)^2`

   `= (x + y)^3/(a + b)^3 xx (a + b)^3/((x + y) (x - y)) xx (x - y)^2/(x + y)^2`

   `= ((x + y)^3 xx (a + b)^3 xx (x - y)^2)/((x + y)^3 xx (a + b)^3 xx (x - y))`

     = (x - y)

     উত্তর: (x - y)

ক. নির্ণেয় ভাগফল

   `= (3x^2)/(2a) -: (4y^2)/(15zx)`

   `= (3x^2)/(2a) xx (15zx)/(4y^2)`

   `= (45zx^3)/(8ay^2)`

    উত্তর: `(45zx^3)/(8ay^2)`

    

 খ. নির্ণেয় ভাগফল

     `= (9a^2b^2)/(4c^2) -:  (16a^3b)/(3c^3)`

     `= (9a^2b^2)/(4c^2) xx (3c^3)/(16a^3b)`

     `= (27a^2b^2c^3)/(64a^3bc^2)`

     `= (27bc)/(64a)`

    উত্তর: `(27bc)/(64a)`

 গ. নির্ণেয় ভাগফল 

   `= (21a^4b^4c^4)/(4x^3y^3z^3) -: (7a^2b^2c^2)/(12xyz)`

   `= (21a^4b^4c^4)/(4x^3y^3z^3) xx (12xyz)/(7a^2b^2c^2)`

   `= 3a^2b^2c^2 xx 3/(x^2y^2z^2)`

   `= (9a^2b^2c^2)/(x^2y^2z^2)`

       উত্তর:`(9a^2b^2c^2)/(x^2y^2z^2)`

 ঘ. নির্ণেয় ভাগফল 

   `= x/y -: (x + y)/y`

   `= x/y xx y/(x + y)`

   `= x/(x + y)`

   উত্তর: `x/(x + y)`
 ঙ. নির্ণেয় ভাগফল 

     `= (a + b)^2/(a - b)^2 -: (a^2 - b^2)/(a + b)`

     `= (a + b)^2/(a - b)^2 xx (a + b)/(a^2 - b^2)`

     `= ((a + b) (a + b))/((a - b) (a - b)) xx (a + b)/((a + b) (a - b))`

     `= (a + b)^2/(a - b)^3`

      উত্তর: `(a + b)^2/(a - b)^3`

 চ.  নির্ণেয় ভাগফল 

   `= (x^3 - y^3)/(x + y) -: (x^2 + xy + y^2)/(x^2 - y^2)`

   `= ((x - y) (x^2 + xy + y^2))/(x + y) xx ((x + y) (x - y))/(x^2 + xy + y^2)`

   `= (x - y)^2`

     উত্তর:`(x - y)^2`

     

 ছ.   নির্ণেয় ভাগফল 

   `= (a^3 + b^3)/(a - b) -: (a^2 - ab + b^2)/(a^2 - b^2)`

   `= ((a + b) (a^2 - ab + b^2))/(a - b) xx ((a + b) (a - b))/(a^2 - ab + b^2)`

   `= (a + b)^2`

     উত্তর: `(a + b)^2`

 জ.  নির্ণেয় ভাগফল 

    `= (x^2 - 7x + 12)/(x^2 - 4) -: (x^2 - 16)/(x^2 - 3x + 2)`

    `= (x^2 - 4x - 3x + 12)/(x^2 - 2^2) -: (x^2 - 4^2)/(x^2 - 2x - x + 2)`

    `= (x(x - 4) - 3(x - 4))/((x + 2)(x - 2)) -: ((x + 4)(x - 4))/(x(x - 2) - 1(x - 2))`

    `= ((x - 4)(x - 3))/((x + 2) (x - 2)) xx ((x - 2)(x - 1))/((x + 4)(x - 4))`

    `= ((x - 3) (x - 1))/((x + 2)(x + 4))`

      উত্তর: `((x - 3) (x - 1))/((x + 2)(x + 4))`


 ঝ. নির্ণেয় ভাগফল 
   
     ` = (x^2 - x - 30)/(x^2 - 36) -: (x^2 + 13x + 40)/(x^2 + x - 56)`

      `= (x^2 - 6x + 5x - 30)/(x^2 - 6^2) -: (x^2 + 8x + 5x + 40)/(x^2 + 8x - 7x - 56)`

      `= (x(x - 6) + 5(x - 6))/((x + 6)(x - 6)) -: (x(x + 8) + 5(x + 8))/(x(x + 8) - 7(x + 8))`

      `= ((x - 6)(x + 5))/((x + 6) (x - 6)) -: ((x + 8) (x + 5))/((x + 8) (x - 7))`

      `= (x + 5)/(x + 6) xx (x - 7)/(x + 5)`

      `= (x - 7)/(x + 6)`

          উত্তর: `(x - 7)/(x + 6)`

ক. `(1/x + 1/y) xx (1/y - 1/x)`

    `= (y + x)/(xy) xx (x - y)/(xy)`

    `= (x^2 - y^2)/(x^2y^2)`

      উত্তর: `(x^2 - y^2)/(x^2y^2)`

 
 খ. `(1/(1 + x) + (2x)/(1 - x^2)) (1/x - 1/x^2)`

     `= {1/(1 + x) + (2x)/((1 + x) (1 - x))} (1/x - 1/x^2)`

     `= {(1 - x + 2x)/((1 + x) (1 - x))} ((x - 1)/x^2)`

     `= (1 + x)/((1 + x) (1 - x)) xx (-(1 - x))/x^2`

      = `1/x^2`

      উত্তর: `1/x^2`

 গ. `(1 - c/(a + b)) (a/(a + b + c) - a/(a + b + c))`

     `= (a + b - c)/(a + b) xx (a(a + b - c) - a(a + b + c))/((a + b + c) (a + b - c))`

     `= (a + b - c)/(a + b) xx (a^2 + ab - ac - a^2 - ab - ac)/((a + b + c)(a + b - c))`

     `= (- 2ac)/((a + b) (a + b + c))`

      উত্তর: `(- 2ac)/((a + b) (a + b + c))`

 ঘ. `(1/(1 + a) + a/(1 - a)) (1/(1 + a^2) - 1/(1 + a + a^2))`

    `= (1(1- a) + a(1 + a))/((1 + a)(1 - a)) xx (1(1 + a + a^2) - 1(1 + a^2))/((1 + a^2) (1 + a + a^2))`

   `= (1 - a + a + a^2)/((1 + a) (1 - a)) xx (1 + a + a^2 - 1 - a^2)/((1 + a^2) (1 + a + a^2))`

   `= (1 + a^2)/((1 + a) (1 - a)) xx a/((1 + a^2) (1 + a + a^2))`

   `= a/((1 - a^2) (1 + a + a^2))`

     উত্তর: `a/((1 - a^2) (1 + a + a^2))`

 ঙ.`(x/(2x - y) + x/(2x + y)) (4 + (3y^2)/(x^2 - y^2))`

    `= (x(2x + y) + x(2x - y))/((2x - y) (2x + y)) xx (4(x^2 - y^2) + 3y^2)/(x^2 - y^2)`

    `= (2x^2 + xy + 2x^2 - xy)/((2x - y)(2x + y)) xx (4x^2 - 4y^2 + 3y^2)/(x^2 - y^2)`

    `= (4x^2)/((2x - y)(2x + y)) xx (4x^2 - y^2)/(x^2 - y^2)`

    `= (4x^2)/((2x - y)(2x + y)) xx ((2x^2) - y^2)/(x^2 - y^2)`

    `= (4x^2)/((2x - y)(2x + y)) xx ((2x + y) (2x - y))/(x^2 - y^2)`

    `= (4x^2)/(x^2 - y^2)`

      উত্তর: `(4x^2)/(x^2 - y^2)`

 চ.`((2x + y)/(x + y) - 1) -: (1 - y/(x + y))`

    `= (2x + y - x - y)/(x + y) -: (x + y - y)/(x + y)`

    `= x/(x + y) -: x/(x + y)`

    `= x/(x + y) xx x/(x + y)`

      = 1

       উত্তর: 1

 ছ. `(a/(a + b) + b/(a - b)) -: (a/(a - b) - b/(a + b))`

     `= (a(a - b) + b(a + b))/((a + b) (a - b)) -: (a(a + b) - b(a - b))/((a - b)(a + b))`

     `= (a^2 - ab + ab + b^2)/((a + b)(a - b)) -: (a^2 + ab - ab + b^2)/((a - b) (a + b))`

     `= (a^2 + b^2)/((a + b)(a - b)) xx ((a - b)(a + b))/(a^2 + b^2) = 1`

       উত্তর: 1

 জ. `((a^2 + b^2)/(2ab) - 1) + ((a^3 - b^3)/(a - b) - 3ab)`

     `= (a^2 + b^2 - 2ab)/(2ab) -: (a^3 - b^3 - 3ab(a - b))/(a - b)`

     `= (a - b)^2/(2ab) -: (a - b)^3/(a - b)`

     `= (a - b)^2/(2ab) xx (a - b)/(a - b)^3`

     `= 1/(2ab)`

      উত্তর: `1/(2ab)`

 ঝ.`((x + y)^2 - 4xy)/((a + b)^2 - 4ab) -: (x^3 - y^3 - 3xy(x - y))/(a^3 - b^3 - 3ab(a - b))`

    `= (x - y)^2/(a - b)^2 -: (x - y)^3/(a - b)^3`

    `= (x - y)^2/(a - b)^2 xx (a - b)^3/(x - y)^3`

    `= (a - b)/(x - y)`

      উত্তর: ` (a - b)/(x - y)`



 ঞ. `(a/b + b/a + 1) -:  (a^2/b^2 + a/b + 1)`

      `= (a^2 + b^2 + ab)/(ab) -: (a^2 + ab + b^2)/b^2`

      `= (a^2 + ab + b^2)/(ab) xx b^2/(a^2 + ab + b^2)`

      `= b/a` 

        উত্তর:` b/a`