ধরি, `f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 5x - 1`

 তাহলে, `f(1/4) = 4.(1/4)^3 - 5(1/4)^2 + 5 (1/4) - 1`

                 `= 4. 1/(64) - 5. 1/(16) + 5 . 1/4 - 1`

                 `= 1/(16) - 5/(16) + 5/4 - 1`

                 `= (1 - 5 + 20 - 16)/(16)`

                 `= (21 - 21)/(16)`

                 `= 0/(16)`

                   = 0

 `:. (x - 1/4)` অর্থাৎ (4x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `4x^3 - 5x^2 + 5x - 1`

  `= 4x^3 - x^2 - 4x^2 + x + 4x - 1`

  `= x^2 (4x - 1) - x(4x - 1) + 1(4x - 1)`

  `= (4x - 1) (x^2 - x + 1)`   (Ans)

ধরি, `f(x) = 18x^3 + 15x^2 - x - 2`

 তাহলে, `f(- 1/2) = 18 (- 1/2)^3 + 15(- 1/2)^2 - (- 1/2) - 2`

                    `= - 18 .1/2 + 15 . 1/4 + 1/2 - 2`

                    `= (- 9 + 15 + 2 - 8)/4`

                    `= (17 - 17)/4 = 0/4 = 0`

   `:. {x - (- 1/2)} = (x + 1/2)`

   অর্থাৎ (2x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

 এখন,  `18x^3 + 15x^2 - x - 2`

   `= 18x^3 + 9x^2 + 6x^2 + 3x - 4x - 2`

   `= 9x^2 (2x + 1) + 3x (2x + 1) - 2(2x + 1)`

   `= (2x + 1) (9x^2 + 3x - 2)`

   `= (2x + 1) (9x^2 + 6x - 3x - 2)`

   `= (2x + 1) {3x (3x + 2) - 1(3x + 2)}`

   `= (2x + 1) (3x + 2) (3x - 1)`      (Ans)

ক. ধরি, `f(x) = x^3 - 21x - 20`

  f(x), (x + 5) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে f(- 5) = 0 হবে।

  এখন, `f(- 5) = (-5)^3 - 21 (- 5) = 0`

                `= - 125 + 105 - 20`

               `= - 145 + 105`
      
                 = - 40

     যেহেতু  `f(- 5) != 0`

     :. (x + 5) দ্বারা প্রথম রাশিটি নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।


 খ. ধরি, `f(x) = x^3 - 21x - 20`

    এবং `g(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6`

    এখন, f(-1) = (-1)^3 - 21 (-1) - 20`

                  = - 1 + 21 - 20`

                  = 0 

     :. (x + 1), f(x)  এর একটি উৎপাদক। 

    আবার, `g(-1) = (-1)^3 + 6 (-1)^2 + 11 (-1) + 6` 

                     `= - 1 + 6 - 11 + 6` 

                      = 0 

   :. (x + 1), g(x) এর একটি উৎপাদক। 

   :. (x + 1), f(x) g(x)  এর একটি সাধারণ উৎপাদক।  (Ans)

    
 গ. ’খ’ হতে যেহেতু (x + 1) উভয় রাশির উৎপাদক।

   প্রথম রাশি ` x^3 - 21x - 20`

       `= x^3 + x^2 - x^2 - x - 20x - 20` 

       `= x^2 (x + 1) - x (x + 1) - 20 (x + 1)`

       `= (x + 1) (x^2 - x - 20)`

       `= (x + 1) (x^2 - 5x + 4x - 20)`

       `= (x + 1) {x (x - 5) + 4(x - 5)}`

       `= (x + 1) (x - 5) (x + 4)`  (Ans) 

  এবং ২য় রাশি `x^3 + 6x^2 + 11x + 6`

       `= x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6`

       `= x^2 (x + 1) + 5x (x + 1) + 6 (x + 1)`

       `= (x + 1) (x^2 + 5x + 6)`

       `= (x + 1) (x^2 + 3x + 2x + 6)`

       `= (x + 1) {x (x + 3) + 2(x + 3)}`

       `= (x + 1) (x + 2) (x + 3)`     (Ans)

ক. দেওয়া আছে, 

  `f(x) = 12 + 4x - 3x^2 - x^3`

  `:. f(-1) = 12 + 4(-1) - 3(-1)^2 - (-1)^3`

              = 12 - 4 - 3 + 1

             = 13 - 7 

             = 6    (Ans)