ধরি,  `f(x) = x^3 - x - 24`

 তাহলে, `f(3) = (3)^3 - 3 - 24`

              `= 27 - 3 - 24`

                = 0

  `:. (x - 3) f(x)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `x^3 - x - 24`

  `= x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 9x + 8x - 24`

  `= x^2 (x - 3) + 3x(x - 3) + 8(x - 3)`

  `= (x - 3) (x^2 + 3x + 8)`   (Ans)

ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগের উদেশ্যে এখানে x কে চলক বা অনির্দেশক 

 এবং y কে ধ্রবক হিসেবে বিবেচনা কর।

 এখন, মনে করি, `f(x) = x^3 + 6x^2 y + 11xy^2 + 6y^3`

 তাহলে, `f (- 3y) = (- 3y)^3 + 6.(- 3y)^2.y + 11(- 3y) y^2 + 6y^3`

                `= - 27y^3 + 54y^3 - 33y^3 + 6y^3`

                `= 60y^3 + 60y^3 = 0`

   `:. {x - (- 3y)} = (x + 3y), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন,  `x^3 + 6x^2y + 11xy^2 + 6y^3`

    `= x^3 + 3x^2 y + 3x^2 y + 9xy^2 + 2xy^2 + 6y^3`

    `= x^2 (x + 3y) + 3xy (x + 3y) + 2y^2 (x + 3y)`

    `= (x + 3y) (x^2 + 3xy + 2y^2)`

    `= (x + 3y) (x^2 + 2xy + xy + 2y^2)`

    `= (x + 3y) {x (x + 2y) + y(x + 2y)}`

    `= (x + 3y) (x + 2y) (x + y)`

    `= (x + y) (x + 2y) (x + 3y)`    (Ans)

মনে করি, `f(x) = 2x^4 - 3x^3 - 3x - 2`

  তাহলে, `f(2) = 2.2^4 - 3.2^4 - 3.2 - 2`

                  `= 32 - 24 - 6 - 2`

                    = 32 - 32

                    = 0

     :. (x - 2), f(x)  এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `2x^4 - 3x^3 - 3x - 2`

        `= 2x^4 - 4x^3 + x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + x - 2`

        `= 2x^3 (x - 2) + x^2 (x - 2) + 2x (x - 2) + 1(x - 2)`

        `= (x - 2) (2x^3 + x^2 + 2x + 1)`

        `= (x - 2) {x^2 (2x + 1) + 1(2x + 1)}`

        `= (x - 2) (x^2 + 1) (2x + 1)`      (Ans)

ধরি, `f(x) = 4x^4 + 12x^3 + 7x^2 - 3x - 2`

  তাহলে, `f(- 1) = 4(- 1)^4 + 12 (- 1)^3 + 7 (- 1)^2 - 3(- 1) - 2`

    `= 4.1 + 12 (- 1) + 7.1 - 3 (- 1) - 2`

      = 4 - 12 + 7 + 3 - 2 

      = 14 - 14

      = 0

    :. {x - (- 1)} = (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

   এখন,  `x^4 + 12x^3 + 7x^2 - 3x - 2`

         `= 4x^4 + 4x^3 + 8x^3 + 8x^2 - x^2 - x - 2x - 2`

         `= 4x^3 (x + 1) + 8x^2 (x + 1) - x(x + 1) - 2(x + 1)`

         `= (x + 1) (4x^3 + 8x^2 - x - 2)`

         `= (x + 1) {4x^2 (x + 2) - 1(x + 2)}`

         `= (x + 1) (x + 2) (4x^2 - 1)`

         `= (x + 1) (x + 2) {(2x)^2 - 1^2}`

         `= (x + 1) (x + 2) (2x + 1) (2x - 1)`

           = (2x - 1) (x + 1) (x + 2) (2x + 1)`   (Ans)

`x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x`

`= x (x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)`

 এখন, মনে করি, f(x) `= x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1`

 :. f(1) `= (1)^5 - (1)^4 + (1)^3 - (1)^2 + (1) - 1`

         `= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1`

          = 3 - 3

         = 0

       :. (x - 1), f (x) এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1`

   `= x^4 (x - 1) + x^2(x - 1) + 1(x - 1)`

   `= (x - 1) (x^4 + x^2 + 1)`

   `= (x - 1) {(x^2)^2 + 2.x^2.1 + (1)^2 - x^2}`

   `= (x - 1) {(x^2 + 1)^2 - (x)^2}`

   `= (x - 1) (x^2 + 1 + x) (x^2 + 1 - x)`

   `= (x - 1) (x^2 + x + 1) (x^2 - x + 1)`

  `:. x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x `

 `= x(x - 1) (x^2 + x + 1) (x^2 - x + 1)`   (Ans)