ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়েগের উদেশ্যে x কে অনির্দেশক  বা চলক এবং y 

 কে ধ্রবক হিসেবে বিবেচনা করি।

  মনে করি, `f(x) = x^3 - 7xy^2 - 6y^3`

  `:. f(-y) = (-y)^3 - 7(-y) y^2 - 6y^3`

   `= - y^3 + 7y^3 - 6y^3`

    = 0

 `:. {x - (-y)} = (x + y), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `x^3 - 7xy^2 - 6y^3`

    `= x^3 + x^2y - x^2y - xy^2 - 6xy^2 - 6y^3`

    `= x^2 (x + y) - xy(x + y) - 6y^2 (x + y)`

   `= (x + y) (x^2 - xy - 6y^2)`

   `= (x + y) (x^2 - 3xy + 2xy - 6y^2)`

   `= (x + y) {x(x - 3y) + 2y(x - 3y)}`

   `= (x + y) (x - 3y) (x + 2y)`   (Ans)

ধরি, `f(x) = x^2 - 5x - 6`

 তাহলে, `f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) - 6`

  `= 1 + 5 - 6 = 6 - 6 = 0`

`:. {x - (-1)} = (x + 1), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন,  `x^2 - 5x - 6`

  `= x^2 + x - 6x - 6`

 `= x(x + 1) - 6(x + 1)`

`= (x + 1) (x - 6(`   (Ans)

ধরি, `f(x) = 2x^2 - x - 3`

 তাহলে, `f(- 1) = 2 (-1)^2 - (-1) - 3`

             = 2 + 1 - 3

             = 0

 `:. {x - (-1)} = (x + 1), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `2x^2 - x - 3`

  `= 2x^2 + 2x - 3x - 3`

  `= 2x (x + 1) - 3(x + 1)`

    = (x + 1) (2x - 3)   (Ans)

ধরি, `f(x) = 3x^2 - 7x - 6`

 তাহলে, `f(3) = 3 (3)^2 - 7.3 - 6`

   `= (3 xx 9) - 21 - 6`

    = 27 - 27

    = 0

  `:. (x - 3), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `3x^2 - 7x - 6`

    `= 3x^2 - 9x + 2x - 6`

    `= 3x (x - 3) + 2(x - 3)`

      = (x - 3) (3x + 2)     (Ans)

ধরি, `f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6`

 তাহলে, `f(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 6`

         = 8 + 2.4 - 10 - 6

         = 8 + 8 - 10 - 6

         = 0

 `:. (x - 2), f(x)`  এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `x^3 + 2x^2 - 5x - 6`

  `= x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 3x - 6`

  `= x^2 (x - 2) + 4x (x - 2) + 3(x - 2)`

  `= (x - 2) (x^2 + 4x + 3)`

  `= (x - 2) (x^2 + 3x + x + 3)`

  `= (x - 2) {x (x + 3) + 1(x + 3)}`

  `= (x - 2) (x + 3) (x + 1)`

  `= (x - 2) (x + 1) (x + 3)`   (Ans)