ধরি, `f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6`

তাহলে, `f(1) = (1)^3 + 4(1)^2 + 1 - 6`

       `= 1 + 4.1 + 1 - 6`

         = 6 - 6

         = 0

   :. (x - 1), f(x)  এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `x^3 + 4x^2 + x - 6`

  `= x^3 - x^2 + 5x^2 - 5x + 6x - 6`

  `= x^2 (x - 1) + 5x (x - 1) + 6 (x - 1)`

  `= (x - 1) (x^2 + 5x + 6)`

  `= (x - 1) (x^2 + 3x + 2x + 6)`

  `= (x - 1) {x (x + 3) + 2(x + 3)}`

  `= (x - 1) (x + 3) (x + 2)`

  `= (x - 1) (x + 2) (x + 3)`   (Ans)

মনে করি,  `f(a) = a^4 - 4a + 3`

   `:. f(1) = (1)^4 - 4(1) + 3`

      `= 1 - 4 + 3 = 4 - 4 = 0`

   `:. (a - 1), f(a)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `a^4 - 4a + 3`

  `= a^4 - a^3 + a^3 - a^2 + a^2 - a - 3a + 3`

  `= a^3 (a - 1) + a^2(a - 1) + a(a - 1) - 3(a - 1)`

  `= (a - 1) (a^3 + a^2 + a - 3)`

 আবার মনে করি, `g(a) = a^3 + a^2 + a - 3`

 তাহলে, `g(1) = (1)^3 + (1)^2 + (1) - 3`

               `= 1 + 1 + 1 - 3`

               `= 3 - 3 = 0`

  `:. (a - 1), g(a)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `a^3 + a^2 + a - 3`

  `= a^3 - a^2 + 2a^2 - 2a + 3a - 3`

  `= a^2 (a - 1) + 2a(a - 1) + 3(a - 1)`

  `=  (a - 1) (a^2 + 2a + 3)`

 `:. a^4 - 4a + 3 = (a - 1) (a - 1) (a^2 + 2a + 3)`  (Ans)

ধরি, `f(a) = a^3 - a^2 - 10a - 8`

 তাহলে `f(-1) = (-1)^3 - (- 1)^2 - 10 (- 1) - 8`

         `= - 1 - 1 + 10 - 8`

         `= - 10 + 10`

          = 0

  `:. {a - (- 1)} = (a + 1), f(a)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `a^3 - a^2 - 10a - 8`

  `= a^3 + a^2 - 2a^2 - 2a - 8a - 8`

  `= a^2 (a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)`

  `= (a + 1) (a^2 - 2a - 8)`

  `= (a + 1) (a^2 - 4a + 2a - 8)`

  `= (a + 1) {a (a - 4) + 2(a - 4)}`

  `= (a + 1) (a - 4) (a + 2)`

  `= (a - 4) (a + 1) (a + 2)`   (Ans)

মনে করি, `f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4`

   `:. f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 4`

           = 8 - 12 + 8 - 4 

           = 16 - 16

           = 0

  `:. (x - 2), f(x) `এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `x^3 - 3x^2 + 4x - 4`

   `= x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x + 2x - 4`

  `= x^2 (x - 2) - x(x - 2) + 2(x - 2)`

  `= (x - 2) (x^2 - x + 2)`  (Ans)

এখানে, a কে চলক এবং b কে ধ্রবক হিসেবে বিবেচনা করি। 

 প্রদত্ত রাশিকে a এর বহুপদী বিবেচনা করে

 ধরি, `f(a) = a^3 - 7a^2 b + 7ab^2 - b^3`

 তাহলে, `f(b) = b^3 - 7b^2.b + 7.b.b^2 - b^3`

              `= b^3 - 7b^3 + 7b^3 - b^3`

                = 0

  `:. (a - b), f(a)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `a^3 - 7a^2 b + 7ab^2 - b^3`

 `= a^3 - a^2b - 6a^2 b + 6ab^2 + ab^2 - b^3`

 `= a^2 (a - b) - 6ab (a - b) + b^2 (a - b)`

 `= (a - b) (a^2 - 6ab + b^2)`      (Ans)