ক. এথনে ধারাটির যে কোন পদ - পুর্ববতী পদ
 
`= (3-1)` বা `(5-3) = 2` শেষ পদ বিদ্যমান ।
  
`:.`ধারাটি একটি সসীম সমান্তর ধারা । Ansখ. এথনে ধারাটির ১ম পদ, `a=1`

 এবং সাধারন অন্তর, `d=2`

  মনে করি ধারাটির `n` তম পদ  `=125`

  অর্থাৎ, `a+(n-1)d=125`
  
  বা, `a+(n-1) xx 2=125`
  
  বা, `1+2n-2=125`
  
  বা, `- 1+2n=125`
  
  বা, `2n=125+1`
  
  বা, `2n=126`

  `:. n=63`

  `:.`  ধারাটির সমষ্টি `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

  `=63/2{2 xx 1+(63-1) xx 2}=63/2(2+63 xx 2)`

  `=63/2(2+124)=63/2 xx 126`

  `=63 xx 63= 3969`

  `:.`  ধারাটির সমষ্টি   `=3969`Ansগ. ‘খ’ হতে পাই, প্রদত্ত  ধারাটির সমষ্টি `s_n =3969`

  এখানে ধারাটির যেকোন পদ - পূর্ববতী পদ

 `=(171-169) বা (173-171)=2`

  `:.` ধারাটি একটি সমান্তর ধারা ।

 ধারাটির প্রথম পদ `a =169`

  এবং সাধারন অন্তর `d=2`

  মনেকরি ধারাটির `n` তম পদ` =209`
 
 অথ্যৎ `a+(n-1)d =209`
  
  বা, `169+(n-1) xx 2=209`
  
  বা, `169+2n-2=209`
  
  বা , `2n=209-167`     বা, `2n=42`
  
  বা, `n=42/2`

  `:. n=21`

  `:.` প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি

  `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
      
   `=21/2{2 xx 169+(21-1) xx 2}`
      
   `=21/2{338+20 xx 2}`
       
  `=21/2{338+40}`
       
  `=21/2 xx 378`
       
  `=21 xx 189`
      
   `=3969`

  `:.` প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি 
 
  `s_n=` শেষোক্ত ধারাটির সমষ্টি `s_n = 3969` (দেখানো হলো)

ক.
`9+7+5+……………..`

 এখন ধারাটির যেকোনো পদ – তার পূর্ববর্তী পদ

 `= (7-9) (5-7) = -2`

 এবং শেষ পদ অনুপস্তিত ।

`:.`প্রদত্ত ধারাটি একটি অনন্ত সমান্তর ধারা । Ans.খ. এখানে ধারাটির প্রথম পদ `a =9`

  সাধারণ অন্তর `d= -2`
 
 মনেকরি ধারটির `n` তম পদ `= -11`
 
 আমরা জানি, সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`

 `:.` `a+(n-1)d = -11`
  
 বা, `9+(n-1)(-2) = -11`
  
 বা,`(n-1)(-2) = -11-9`
  
 বা,`( n-1)(-2) = -20`
  
 বা, `n-1=10`  [ উভয় পক্ষকে `-2` দ্বারা ভাগ করে]
  
 বা, `n= 10+1`

 `:.` `n= 11`
  
 অথাৎ ধারাটির `11` তম পদ  `-11` Ans.গ. আমরা জানি, কোন সমান্তর ধারার পদসংখ্যা `n` হলে,

 `n` সংখ্যক পদের যোগফল `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.` প্রদত্ত সমান্তর ধারার `n-`সংখ্যক পদের যোগফল,
 
 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
   
  `=n/2(18+2 -2n)`  [  যেখানে, `a=9` এবং `d=-2`]
    
 `=n/2(20 -2n)`
    
 `=n(10 -n)`
  
 প্রশ্নমতে,  `n(10- n) = -144`
  
 বা, `- n^2+10n+144=0`
  
 বা, `n^2-10n-144=0`  [উভয় পক্ষকে `-1` দ্বারা গুন করে]
  
 বা, `n^2 -18n+8n -144=0`
 
 বা, `n(n-18)+8(n-18)=0`
  
 বা, `(n+8)(n-18)=0`
  
 বা, `n+8=0`     অথবা, `n -18=0`

 `:.`  `n= -8`      `:.` `n=18`

 কিন্তু কোনো ধারার পদসংখ্যা  ঋনাত্নক হতে পারে না
 
  সুতরাং, `n = -8` গ্রহনযোগ্য নয় ।

 `:.`  নির্ণেয় মান `n=18` Ans.

ক. মনেকরি ধারাটির প্রথম পদ `=a`

 এবং সাধারণ অন্তর `=d`

 `:.` ধারাটির `12` তম পদ `=a+(12-1)d=a+11d`
     
 ধারাটির  `16`  তম পদ `=a+(16-1)d=a+15d`
   
 প্রশ্নমতে, ` a+11d=77`
 
 এবং `a+15d=85` Ans.খ. আমরা জানি, সমান্তর ধারার 

 প্রথম `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি,

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.` প্রথম  `23` টি পদের সমষ্টি,

 `s_23=23/2{2a+(23-1)d}`
        
 `=23/2{2a+22d}`
          
 `=23/2 xx 2(a+11d)`
          
  `=23 xx (a+11d)`
  
 `23 xx 77 ` [ক. থেকে পাই, `a+11d=77`]
          
 ` =1771`

 `:.` প্রথম `23`   পদের সমষ্টি, `=1771` Ans.গ. ’ক’ থেকে পাই,

  `a+11d=77..........(i)`

 `a+15d=85.........(ii)`

 `(ii)` নং সমীকরণ থেকে `(i)` নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

 `4d=8`
  
 বা, `d=8/4`

 `:. d=2`

 `d`  এর মান  `(i)` নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

 `a+11d=77`
  
  বা, `a+11 xx 2 =77`
  
  বা, `a+22=77`
  
  বা, `a=77-22`
        
 `:. a=55`

  `:.`   ধারাটির প্রথম পদ `55` এবং সাধারণ অন্তর  `2`
  
  মনেকরি ধারাটির `n-` তম পদ  `=107`
  
  আমরা জানি সমান্তর ধারার `n-` তম পদ  `=a+(n-1)d`

  `:.    a+(n-1)d=107`
  
  বা, `55+(n-1)2=107`
  
  বা, `(n-1)2=107 -55`
  
  বা, `(n-1)2=52`
 
  বা, `n-1=52/2`
  
  বা, `n-1=26`
 
  বা, `n=26+1`

 `:.  n=27`
 
 `:.`  ধারাটির  `27` তম পদ  `=107`

  প্রথম পদ `55` ও সাধারণ অন্তর  `2` এবং `27 `তম পদ `107` Ans.

ক. :. দেওয়া আছে, 

 ধারাটির `n` পদের সমষ্টি, `s_n=n(n+1)=n^2+n`

 ` n=1, 2` বসিয়ে পাই -

 `s_1=`  প্রথম পদ  `= 1^2+1=2`

 `s_2=` প্রথম পদ `+`  দ্বিতীয় পদ `=2^2+2=6` Ans..খ. ’ক’ থেকে `s_1=2 `এবং  `s_2=6`

 আবার, `s_3=` প্রথম পদ `+` দ্বিতীয় পদ `+` তৃতীয় পদ

 `=3^2+3=12............(i)`
 
 `:.` প্রথম পদ `=2`

 `:.`  দ্বিতীয় পদ `=s_2- s_1=6-2=4`  []

 `:.` তৃতীয় পদ  `=s_3-s_2=12-6=6`  []
  
 এখানে, তৃতীয় পদ - প্রথম পদ `=4-2=2`

  তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ  `=6-4=2`
   
 অর্থাৎ যেকোনো পদ - তার পূর্ববর্তী পদ `=2`

 `:.`  ধারাটি সমান্তর ধারা এবং এর সাধারণ অন্তর `2`
 
  সুতরাং ধারাটি হলো, `2+4+6+8+......` গ. খ. থেকে পাই, ধারাটি, `2+4+6+........`
 
 যার প্রথম পদ, `a=2`

 সাধারণ অন্তর, `d=2`

 ধারাটির প্রথম `10` পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে ।
 
 :.  পদ সংখ্যা, `n=10`
  
 আমরা জানি, সমান্তর ধারার `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি,

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.   s_10=10/2{2  xx 2+(10-1)2}`
 
  `=5(4+18)`
  
 `=5 xx 22`
  
 `=110` Ans..

(i) নং ধারারা প্রথম পদ  `a=1`, সাধারণ অন্তর  `d=1`

 `:.`  n-তম পদ `=a+(n-1)d`

 `=1+(n-1)1`

 `=1+n-1`

 `=n`

 (ii) নং ধারার প্রথম পদ  `a=2` সাধারণ অন্তর `d=2`

 `:.`  n-তম পদ `=a+(n-1)d`
  
 `=2+(n-1)2`
  
`=2+2n-2`