ক. দ্বিতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`=(-1)^(n+1)n/(n+1)`

`:.` দ্বিতীয় অনুক্রমের সপ্তম পদ`=(-1)^(7+1)7/(7+1)`

   `=(-1) 8 7/8=7/8`Ansখ. দ্বিতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`(-1)^(n+1)n/(n+1)` এর জন্য--

 `n=1` হলে, অনুক্রমের প্রথম পদ  

 `=(-1)^(1+1)1/(1+1)`

 `=(-1)^2 1/2=1/2`

 `n=2` হলে, অনুক্রমের ২য় পদ    

 `=(-1)^(2+1)2/(2+1)`

 `=(-1)^3 2/3=-2/3`

 `n=3`   হলে, অনুক্রমের ৩য় পদ   

 `=(-1)^(3+1)3/(3+1)`

 `=(-1)^4 2/4=-2/4`

 `:.` অনুক্রমটি হলো `1/2, -2/3,3/4,..........`Ans তৃতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`(n-1)/(n+1)` এর জন্য--

 `n=1` হলে, অনুক্রমের প্রথম পদ  

 `=(1-1)/(1+1)=0/2=0`

 `n=2` হলে, অনুক্রমের ২য় পদ    

  `=(2-1)/(2+1)=1/3`

 `n=3`   হলে, অনুক্রমের ৩য় পদ   

  `=(3-1)/(3+1)=2/4`

 `:.`  অনুক্রমটি হলো `0,1/3,2/4,..........`Ansগ. প্রথম ও তৃতীয় অনুক্রমের সাধারণ 
  
 পদের যোগফল `=1/n+(n-1)/(n+1)`
   
 `=(n+1+n(n-1))/(n(n+1))`
   
 `=(n+1+n^2-n)/(n^2+n)`

 `=(n^2+1)/(n^2+n)`

 `:.` নতুন  অনুক্রমের সাধারণ পদ 

 `=(n^2+1)/(n^2+n)`

 `n=1` হলে, নতুন অনুক্রমের প্রথম পদ      

 `=(1^2+1)/(1^2+1)=2/2=1`

 `n=2`হলে,নতুন অনুক্রমের ২য় পদ  

  `(2^2+1)/(2^2+2)=(4+1)/(4+2)=5/6`

 `n=3` হলে, নতুন অনুক্রমের ৩য় পদ   

 `(3^2+1)/(3^2+3)=(9+1)/12=10/12=5/6`

  `:.` নতুন অনুক্রমটির প্রথম তিন পদের যোগফল 

  `=1+5/6+5/6=(6+5+5)/6`
         
 `=16/6=8/3`Ans

ক. ধারাটির প্রথম পদ`a=8`

 সাধারন অন্তর `d=11-8=3`হলে,

 আমরা জানি, n তম পদ `=a+(n-1)d`

 `=8+(n-1)3`

 `=8+3n-3`

 `=5+3n`Ans.খ. ’ক’ থেকে পাই, ১ম পদ  `a=8`, সাধারন অন্তর `d=3`

 এখানে পদসংখ্যা `n=10`
  
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম  `n`সংখ্যক পদের সমষ্টি

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
 
 তাহলে,প্রথম`10` টি পদের সমষ্টি,

 `s_10=10/2{2.8+(10-1)3}`

 `=5{16+9 xx 3}`

 `=5(16+27)`

 `=5 xx 43`

 `=215`Ans.গ. ’খ’ থেকে পাই, ১ম পদ`a=215`

 এখন সাধারন অন্তর `d=9` হলে নতুন ধারাটি হলো

 `215+224+233+..........`
  
 আমরা জানি ,

 সমান্তর ধারার `n-`তম পদ  `=a+(n-1)d`

 `:.` ধারাটির ৭ম পদ বের করার জন্য `n=7` বসিয়ে পাই,

 ধারাটির  ৭ম পদ`=215+(7-1)9`

 `=215+6 xx 9`

 `=215+54`

 `=269`Ans.

ক. ধারাটির প্রথম পদ `A=29`  সাধারন অন্তর, `D=25-29= -4` হলে,
 
 ধারাটির `n` তম পদ  `=a+(n-1)d`

 `=29+(n-1)(-4)`

 `=29-4n+4`

 `=33-4n`

 ক থেকে পাই `n` তম পদ   `=33-4n`

 এখানে `n` তম পদ `-23` হলে, `33-4n=-23`
  
 বা,`-4n=-23-33`
  
 বা,`-4n=-56`
 
 বা,`-n=-14`

 `:.`  `n=14`

 আবার প্রথম `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.`  প্রথম `14`টি  পদের সমষ্টি `s_14=14/2{2 xx 29+(14-1)(-4)}`

 `=7{58+13(-4)}`

 `=7(58-52)`

 `=7 xx 6`

 `=42` Ans.গ. ’খ’ থেকে পাই `n=14`

 `:.`ধারাটির `2n` সংখ্যক পদের সমষ্টি,

 `s_(2n) =(2n)/2{2a+(2n-1)d}`

  অতএব, `s_28=28/2{2 xx 29+(28-1)(-4)}`

 `=14{58+27(-4)}`

 `=14{58-108}`

 `=14(-50)`

 `=-700` Ans.

ক. মনেকরি,সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ`=a`

 এবং সাধারন অন্তর`=d`

  এখন প্রথম  `n` পদের  সমষ্টি,`s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.``s_8=8/2{2a+(8-1)d}=4(2a+7d)`
 
 এবং`s_20=20/2{2a+(20-1)d}=10(2a+19d)`

 `:.`প্রশ্নমতে,  `4(2a+7d)=56`
 
  বা, `2a+7d=14...........(i)`

 এবং`10(2a+19d)=260`
  
  বা,`2a+19d=26...........(ii)`


 [/b]খ.[/b]
  
 ক. থেকে পাই,

 `2a+7d=14............(i)`

 `2a+19d=26...........(ii)`
  
  (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,

  `12d=12`

  `:. d=1`

  (i) নং এ `d` এর মান বসিয়ে পাই,

 `2a+7.1=14`

  বা, `2a=14-7`
 
  বা,`a=7/2`

  `:. a=7/2`

  `:.` ধারাটির প্রথম পদ, `a=7/2`  সাধারন অন্তর `d=1` Ans.


 [/b]গ.[/b]

 কোন ধারা বের করতে হলে সাধারনত ধারাটির প্রথম তিনটি পদ বের করলেই ধারাটি প্রকাশ করা যায ।

 এখানে, প্রথম পদ`a=7/2`

  ২য় পদ `=a+d=7/2+1` [খ থেকে]
           
           `=9/2`

  ৩য় পদ  `=a+2d` [খ থেকে]
          
           `=7/2+2`
          
           `=11/2`

  `:.`ধারাটি  `7/2+9/2+11/2+.........`

  এখন, ধারাটির প্রথম   30টি পদের সমষ্টি,

  `s_30=30/2{2. 7/2+(30-1)1}`
        
        `=15(7+29)`
        
       `=15 xx 36`
        
       `=540`

ক. সমান্তর ধারার ১ম পদ `m`, সাধারণ অন্তর   `n` হলে,
   
 ধারাটির `P-`তম পদ, ` m+(p-1)n=a……(i)`
  
 ধারাটির `q -`তম পদ,  ` m+(q-1)n=b……(ii)`

 ধারাটির `r -`তম পদ, ` m+(r-1)n=c……(iii)` খ. এখানে, বামপক্ষ `=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)`

 `= {m+(p-1)n}(q-r)+{m+(q-1)n}(r-p)`

 `+{m+(r-1)n}(p-q)`  [ক, থেকে `a,b` ও `c` এর মান বসিয়ে ]

 `= m(q-r+r-p+p-q)+n{p-1(q-r)`

 `+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}`

 `= m  xx 0+n{pq-pr-q+r+qr-pq-r`

 ` +p+rp-rp-p+q}`

 `= 0+n xx 0=0`

 `:. a (q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0` (দেখানো হলো) গ. `m+(p-1)n=a………………(i)`

 `m+(q-1)n=b………………(ii)`

 `m+(r-1)n=c………………(iii)`

 `(i)` নং থেকে `(ii)` নং বিয়োগ করে পাই,

 `n(p-1-q+1)=a-b`
 
 বা ,` n=(a-b)/(p-q)`

 `:. n =(a-b)/(p-q)`
 
 (i) নং এ `n` এর মান বসিয়ে পাই,

 `m+(p-1) (a-b)/(p-q)=a`
 
 বা , `m= a - ((p-1)(a-b))/(p-q)`
  
 বা, `m=(ap-aq-ap+bp+a-b)/(p-q)`

 `:.  m =(a-b+bq-aq)/(p-q)`
  
 `:.`,` m-n = (a-b+bp-aq)/(p-q)- (a-b)/(p-q)`
    
 `=(bp-aq)/(p-q)` (দেখানো হলো)