প্রদত্ত ধারাটি,2+4+6+8+......

 যার প্রথম পদ a=2

 সাধারান অন্তর, d=4-2=2

`:.`এটি একটি সমান্তর ধারা ।

  মনে করি ধারাটির পদ সংখ্যা =n

 এবং n সংখ্যক পদের সমষ্টি `s_n=2550`
   
 আমরা জানি,
  
 ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল,`s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.n/2`{2.2+(n-1)2} = 2550
  
  বা, `n/2(4+2n-2) = 2550`
 
  বা,`n/2(2n+2) = 2550`
  
  বা,`n/2 .2(n+1) = 2550`
  
  বা,`n^2+n = 2550`

  বা,`n^2+n - 2550 = 0`
 
  বা,`n^2+51n - 50n - 2550 = 0`
  
  বা,`n(n+51) - 50(n+51) = 0`
  
  বা,`(n+51)(n-50) =0`

 `:.``(n+51)(n-50) =0`
  
  হয়,` n+51 = 0  `         অথবা,` n-50 = 0`

 `:.`n = - 51         `:.` n = 50

  কিন্তু কোন ধারার পদসংখ্যা ঋনাত্নক হতে পারে না ।
  
  সুতরাং,` n = - 51` গ্রহনযোগ্য নয় ।

 `:.`নির্নেয় মান :` n= 50`

  Ans: `50.`

দেওয়া আছে ,

 ধারাটির n পদের সমষ্টি`s_n=n(n+1)=n^2+n`

 `n=1,2,3........` ইত্যাদি বসিয়ে পাই,

 `s_1`= ১ম `1` পদের সমষ্টি =` 1^2`+1=1+1=2

 `s_2`= ১ম `2 `পদের সমষ্টি = `2^2`+2=4+2=6

 `s_3` = ১ম `3` পদের সমষ্টি = `3^2`+3=9+3=12 ইত্যাদি

 `:.` প্রথম পদ = `s_1`=`2`
 
  দ্বিতীয় পদ =`s_2` - `s_1`= 6 - 2 = 4
 
  তৃতীয় পদ = `s_3` - `s_2`= 12 - 6 = 6
 
  সুতরাং ধারাটি হলো  2+4+6+...........

  Ans:  ধারাটি 2+4+6+...........

দেওয়া আছে,
 ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি,  `s_n`= n (n + 1) 
`:.` ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি   `s_10` = 10(10+1)
   = 10  `xx` 11
   =110
Ans:110

মনে করি,সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ =a
  
 ও সাধারন অন্তর = d
   
 দেওয়া আছে, সমান্তর ধারাটির প্রথম 12 পদের সমষ্টি,  `s_12 =144`
   
 ও ধারটির প্রথম 20 পদের সমষ্টি, `s_20 =560`

 আমরা জানি,কোন সমান্তর ধারার প্রথম n পদের 
    
 সমষ্টি,`s_n = n/2{2a + (n -1)d}`

 `:.` সমান্তর ধারাটির প্রথম 12 পদের 

  সমষ্টি,`s_12 = 12/2 {2a + (12- 1)d}`

  বা, 144 = 6(2a + 11d)
 
  বা, 24 = 2a+11d
  
 `:.`  2a+11d = 24.......(i)

 `:.` সমান্তর ধারাটির প্রথম 20 পদের সমষ্টি,

 `s_20 = 20/2{2a + (20-1)d}`
 
  বা , 560 = 10(2a+19d )
 
  বা, 56 = 2a + 19d

 `:.` 2a+19d = 56.........(ii)
 
  (ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করি,
  
  2a+19d = 56.........(ii)
  
  2a+ 11d = 24.......(i)
  (-)    (-)     (-)
  ____________________
   8d =32  [বিয়োগ করে]
 
  বা, d = 4

  `:.` d = 4

  dএর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

  2a+11.4 = 24
 
  বা  , 2a +44 = 24
 
  বা  ,2a=24 - 44
 
  বা, 2a = - 20
 
  বা, a = `(-20)/2`

 `:.` a = - 10

 `:.` সমান্তর ধারার প্রথম 6 পদের 

  সমষ্টি, `s_6 = 6/2{2(- 10)+(6 - 1)4}` [মান বসিয়ে]
        
  =3{- 20 +5.4}
         
  =3{- 20 +20}
         
  =3.0
         
  =0

  Ans: 0.

মনেকরি,
  
 সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ =a
 
 ও সাধারন অন্তর =d
   
  দেওয়া আছে,
 
  ধারাটির প্রথম m পদের সমষ্টি `s_m= n`

  এবং ধারাটির প্রথম n পদের সমষ্টি `s_n= m`
   
  আমরা জানি,

  সমান্তর ধারার m পদের সমষ্টি  `s_m = m/2{2a+(m-1)d}`

 `:.` n =` m/2{2a+(m-1)d}`

   বা , `2n = 2am+m^2d -md............(i)`

   আবার,n পদের সমষ্টি  `s_ = n/2{2a+(n-1)d}`

  `:. m =n/2{2a+(n-1)d}`

   বা, `2m = 2an+n^2d-nd...........(ii)`

  (ii) নং কে m দ্বারা এবং (i)  নং কে n দ্বারা গুন করে (ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে,

 `2m^2 =2amn+mn^2d-mnd`

 `2n^2 =2amn+m^2nd-mnd`
 _________________________
 `2(m^2-n^2)=mnd(n-m)`
 
  বা ,`mnd(n-m)=2(m+n)(m-n)`

  বা, `d=(-2(m+n)(n-m))/((mn)(n-m))`

 `:. d = -(2(m+n)(n-m))/(mn(n-m))`

  এখন d এর মান (i) নং এ বসিয়ে,

 `2n=2am+m^2{-(2(m+n))/(mn)}-m{-(2(m+n))/(mn)}`

  বা ,`n=am-(m(m+n))/n +((m+n)/n)`
  
  বা,n=`(amn-m^2-mn+m+n)/n`
  
  বা,`n^2=amn-m^2-mn+m+n`
 
  বা,`amn=m^2+n^2+mn-m-n`
  
  বা,a=`(m^2+n^2+mn-m-n)/(mn)`

 `:.`a=`(m^2+n^2+mn-m-n)/(mn)`

 `:.`সমান্তর ধারার প্রথম (m+n) পদের সমষ্টি,

 `s_(m+n) =( m+n)/2{2a+(m+n-1)d}`
  
  =`(m+n)/2[(2(m^2+n^2+mn-m-n))/(mn) +(m+n-1). (2(m+n))/-(mn)]`

  =`(m+n)/2 [(2(m^2+n^2+mn-m-n))/(mn) -(2(m+n)(m+n-1))/(mn)]`

  =`(m+n)/2 .2/(mn)[m^2+n^2+mn-m-n-m^2-mn+m-mn-n^2+n]`

  =`(m+n)/(mn)(-mn)=-(m+n)`

  Ans:`-(m+n).`