প্রদত্ত ধারাটি, 5+11+17+23+......+59
 
 যার প্রথম পদ,a=5

 এবং সাধারন অন্তর,d=11-5=6

 `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা ।
 
 মনেকরি, ধারাটির n তম পদ =59
 
 আমরা জানি, n তম পদ =a+(n-1)d

 `:.`a+(n-1)d=59
  
 বা, 5+(n-1)` xx` 6=59 [মান বসিয়ে]
  
 বা , 5+6n-6=59
   
 বা, 6n-1=59
   
 বা, 6n=59+1
   
 বা,6n=60
   
 বা,`n=60/6`

 `:.`n=10
 
 আমরা জানি সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
 
 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:. s_10=10/2{2 xx 5+(10-1)6}`[n.aএবং d এর মান বসিয়ে]

 =5(10+9 `xx` 6)

 =5(10+54)

`=5  xx 64`

  =320

  Ans:320

প্রদত্ত ধারাটি,29+25+21+..................-23 
 
 যার প্রথম পদ a=29

 এবং সাধারন অন্তর, d=25-29=-4

 `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা ।
 
 মনে করি,ধারাটির n তম পদ = -23

 আমরা জানি, n তম পদ =a+(n-1)d

`:.` a+(n-1)d=-23

  বা , 29+(n-1) `xx`(-4)=-23[ a এবং d এর মান বসিয়ে]
 
  বা , 29-4n+4=-23
  
  বা, 33-4n=-23
  
  বা,-4n=-23-33
  
  বা,-4n=-56
  
  বা,`n=-56/-4`

 `:.` n=14
 
  আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল,

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:. s_14=14/2{2 xx 29+(14-1) xx (-4)}`[ n,  a এবং d এর মান বসিয়ে]

  =7{58+13 `xx` (-4)}

  =7{58-52}

  =7`xx`6

  =42

  Ans:42.

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ =a
 
 এবং সাধারন অন্তর =d

 আমরা জানি n তম পদ = a+(n-1)d

 `:.` 12 তম পদ  =a+(12-1)d=a+11d
  
 প্রশ্নমতে,  a+11d=77................(i)

 `:.` প্রথম 23 পদের সমষ্টি,

 `s_23= 23/2`{2a+(23-1)d}

 =`23/2`{2a+22d}

 =`23/2 xx 2` (a+11d)

 =23` xx `(a+11d)

 =23 `xx` 77   [(i) নং  থেকে a+11d=77]

 =1771

 Ans:1771.

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ =a

 ও সাধারন অন্তর =d

 এবং ধারাটির 16 তম পদ =-20
  
 আমরা জানি ,
 
 n তম পদ =a+(n-1)d

 `:.` 16  তম পদ =a+(16-1)d
  
 বা, -20=a+15d

 `:.` a+15d = -20

  আবার, আমরা জানি,
 
  সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের 
  
  সমষ্টি, `s_n` =`n/2`{2a+(n-1)d}

 `:. s_31 = 31/2`{2a+(31-1)d}
   
 =`31/2`{2a+30d}
   
 =`31/2  xx `2(a+15d)
 
 =31 `xx` (-20) [`:.` a+15d = -20]

 = - 620

 Ans: - 620

প্রদত্ত ধারাটি , 9+7+5+....

 যার প্রথম পদ ,a=9

 এবং সাধারন অন্তন, d=7-9= -2

 এটি একটি সমান্তন ধারা ।
 
 আমরা জানি, কোন সমান্তর ধারার পদসংখ্যা n হলে,

 n সংখ্যক পদের যোগফল, `s_n = n/2{2a+(n-1)d}`

 =`n/2`{2.9+(n-1)(-2)}[মান বসিয়ে]

 =`n/2`(18+2-2n)

 =`n/2`(20-2n)

 =n(10-n)

 প্রশ্নমতে, n(10-n) = -144
  
 বা, 10n - `n^2`+144=0
  
 বা, `n^2`-10n - 144 = 0 [ উভয়কে (-1) দ্বারা গুন করে]
  
 বা, `n^2`- 18n + 8n-144 = 0
  
 বা, n(n-18) + 8(n-18) = 0
 
 `:. `(n+8)(n-18) =0
 
 হয় , n+8 = 0          অথবা, n-18=0

 `:.`n= - 8              `:.`n=18

 কিন্তু,কোন ধারার পদসংখ্যা ঋনাত্বক হতে পারে না ।

 সুতরাং ,n= - 8 গ্রহনযোগ্য নয় ।

 অতএব, n এর মান 18.

 Ans:18.