সমান্তর ধারার প্রথম পদ`=x`

 সাধারন অন্তর `=d`
   
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম `n` তম পদ =১ম পদ `+(n-1)d`

`:.` সমান্তর ধারার `p` তম পদ `=x+(p-1)d=a...........(i)`
   
 `q` তম পদ `=x+(q-1)d=b..............(ii)`

  এবং` r` তম পদ `=x+(r-1)d=c..............(iii)`

  বামপক্ষ
   `=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)`

  `={x+(p-1)d}(q-r)+{x+(q-1)d}(r-p)+

  {x+(r-1)d}(p-q)`[`a,b,c` এর মান বসিয়ে]

  `=x(q-r)+d(p-1)(q-r)+x(r-p)+d(q-1)(r-p)+`
              `x(p-q)+d(r-1)(p-q)`

 `=x(q-r+r-p+p-q)+d(pq-pr-q+r+qr-pq-r`
                  `+p+pr-qr-p+q)`

 `=x xx 0+d xx 0`

 `=0+0=0`

  =ডানপক্ষ

 `:. a(q-r)+b(r-p)+c(p-a)=0`(দেখানো হলো)

বামপক্ষ`=1+3+5+7+.................+125`
    
 এখানে ধারাটির প্রথম পদ, `a=1`
    
 ধারাটির  সাধারন অন্তর,`d=3-1=2`

 `:.`ইহা একটি সমান্তর ধারা ।
 
  ধরি, ধারাটির `n` তম পদ `=125`
   
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`
 
  বা,`125=1+(n-1)2`
  
 বা,`125=1+2n-2`
  
 বা,`125=2n-1`
  
 বা,`2n = 125+1`
  
 বা,`2n = 126`
  
 বা,`n =126/2`

 `:. n = 63`

 সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,`s_n = n/2{2a+(n-1)d}`

 `:. s_63 = 63/2{2.1+(63-1)2}`

 `= 63/2(2+62 xx 2)`

 `= 63/2(2+124)`

 `= 63/2 xx 126`

 `= 63 xx 63 =3969.`

  আবার ডানপক্ষ =`169+171+173+.......................+209`
  
 এখানে, ধারাটির প্রথম পদ`a=169`
  
 ধারাটির সাধারন অন্তর`d=171-169=2`

 `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা

  ধরি, ধারাটির `n` তম পদ `=209`
 
  আমরা জানি,
 
  সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`
  
  বা,`209=169+(n-1)2`
 
  বা,`209=169+2n-2`
 
  বা,`209=2n+167`
  
  বা,`2n=209-167`
 
  বা,`2n=42`
  
  বা,`n=42/2`

 `:. n=21`

 `:.` সমান্তর ধারার প্রথম `21` পদের সমষ্টি,

 `s_21 =21/2{2.169+(21-1)2}`

 `=21/2(338+20 xx 2)=21/2(338+40)`

 `=21/2 xx 378`

 `=21 xx 189=3969`

 `:. 1+3+5+7+...................+125`

 `=169+171+173+....................+209` (দেখানো হলো)

মনেকরি, ঐ ব্যক্তি `n` টি কিস্তিতে ঋন পরিশোধ করেন ।

 ধরি, প্রথম কিস্তি হবে,`a=1`

 দ্বিতীয় কিস্তি হবে,`a_1 =(1+2)`বা `3` টাকা

 তৃতীয় কিস্তি হবে,`a_2=(3+2)` বা `5` টাকা
 .............................................
 ...........................................
  
 কিস্তির ধারা হবে`1+3+5+...............`

 তাহলে ধারাটির প্রথম পদ,`a=1`

 `:.` এটি একটি সমান্তর ধারা । সাধারন অন্তর,` d=3-1=2` টাকা

  কিস্তিগুলোর সমষ্টি`s_n =2500`টাকা
 
 আমরা জানি,`s_n =n/2{2a+(n-1)d}`
  
 বা,`2500=n/2{2.1+(n-1)2}`
  
 বা,`2500=n/2(2+2n-2)`
  
 বা,`2500=n/2 .2n`  বা,`2500 =n^2`
  
 বা,`n = !=sqrt2500`[বর্গমূল করে]
  
 বা,`n =50`[(-) ‍চিহ্ন বর্জন করে; যেহেতু কিস্তি সংখ্যা ধনাত্বক]

 `:. n= 50`

 `:. 50`টি কিস্তিতে ঋন পরিশোধ করবে ।

 `:. 50`টি ।

 Ans:`50`

ক. দেওয়া আছে ,
 
 মুলবেতন,` a=8000` টাকা 
 
 বাৎসরিক বেতন বৃদ্দি, `d=300` টাকা 
 
 ২য় বছরে বেতন =`(a+d)` 
  
 =`(8000+300)` টাকা 
  
 =`8300` টাকা 
 
 ৩য় বছরে বেতন   =`(a+2d)`
  
 =`(8000+2 xx  300)` টাকা 
  
 =`8600` টাকা 

 `:.` সমান্তর ধারাটি, `8000+8300+8600+.......` খ. পদ সংখ্যা, `n=6`
 
 আমরা জানি,` n`-তম পদ `=a+(n-1)d`

 `:.`  `6` তম পদ `=a+(6-1)d`
             
 `=8000+5  xx  300`  [’ক’ করে]
            
 ` =9500`

 `:.` `2017` সালের জানুয়ারী মাসে তার মূল বেতন হবে `=9500` টাকা । গ. `2012` সালে তার মোট বেতন  `=(8000  xx  12) =96000` টাকা

 `2013`  ’’     ’’     ’’    ’’   `=(8300  xx  12) =99600`  টাকা

 `2014`  ’’     ’’    ’’   ’’     `=(8600  xx  12) =103200`  টাকা

 তাহলে বৎসরভিত্তিক ধারাটি দাড়ায়  ,

`96000+99600+103200+............`

 যা একটি সমান্তর ধারা ।

 প্রথম পদ `a=96000` টাকা

  সাধারন অন্তর,`d=99600-9600=3600` টাকা এবং পদসংখ্যা,

  `n=20`
 
 আমরা জানি
   `s_n =n/2{2a+(n-1)d}`
        
   =`20/2{2 xx 96000+(20-1) xx 3600}`
        
   =`10(192000+68400)`
        
   =`10 xx 260400`
        
   =`2604000`

 `20`  বছরে তার মোট বেতন হবে `=2604000` টাকা   

  তার সঞ্চয় তহবিলে বাৎসরিক জমার পরিমান `10%`
   
 মোট কর্তনের পরিমান `=2604000` এর  `10%`
    
 `=2604000`  এর`10/100`
     
 `=260400` টাকা ।

ক. দেওয়া আছে,

 সমান্তর ধরার প্রথম  `m` সংখ্যক পদের সমষ্টি.

 `s_m =m(m+3)`
         
  `=m^2+3m`
           
  `m=1` হলে, `s_1=1^2+3 xx 1`
                             
                     `=1+3=4`

 `:.` ধারাটির প্রথম পদ `=4`(Ans.)খ. ‍

   ’ক’ থেকে,

 `s_m =m^2+3m`

 `m=1`হলে `s_1=1^2+3 xx 1=1+3=4`

 `m=2`হলে `s_2=2^2+3 xx 2=4+6=10`

 `m=3` হলে `s_3=3^3+3 xx 3=9+9=18`

 `m=4` হলে `s_4=4^2+3 xx 4=16+12=28`

 ` m=5` হলে `s_5=5^2+3 xx 5=25+15=40`

 ধারাটির প্রথম পদ `=4`
 
 দিত্বীয় পদ `=s_2-s_1=10-4=6`
 
 তৃতীয় পদ `=s_3-s_2=18-10=8`

 চতুর্থ পদ `=s_4-s_3=28-18=10`

 পঞ্চম পদ `=s_5-s_4`
         
    ` =40-28=12`

`:.` ধারাটি `4+6+8+10+12+..............`(Ans.)গ. ’খ’ থেকে প্রাপ্ত ধারাটি,
    
 4+6+8+10+12+..............

 প্রথম ধারা`a=4`

 সাধারন অন্তর `d=6-4=2`

 সমান্তর ধারার `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি `=n/2{2a+(n-1)d}`

 `(x+1)` সংখ্যক পদের সমষ্টি 

 `=(x+1)/2{2a+(x+1-1)d}`
               
`=(x+1)/2(2a+xd)`
                
 `=(x+1)/2(2 xx 4+x xx 2)`
                 
 `=(x+1)/2(8+2x)`
                  
 `=(x+1)/2 xx 2(x+4)`
                  
 `=(x+1)(x+4)`
                  
 `=x^2+4x+x+4`
                  
 `=x^2+5x+4`

 প্রশ্নমতে,

 `x^2+5x+4=304`
 
  বা,`x^2+5x+4-304=0`
 
  বা,`x^2+5x-300=0`
  
 বা,`x^2+20x-15x-300=0`
  
 বা,`x(x+20)-15(x+20)=0`

 `:. (x+20)(x-15)=0`
  
 হয়,`x+20=0`       অথবা,`x-15=0`
  
 বা,`x=-20`               `:. x=15`
 
 কিন্তু পদসংখ্যা ঋনাত্বক হতে পারে না । অর্থাৎ `x != -20`

 `:. x=15`(Ans.)