ক. এখানে সামান্য ভগ্নাংশগুলি যথাক্রমে,` 8 1/3` এবং` 3/(11)`

     এখন` 8 1/3 = (25)/3`    


                     3)25(8.33
                        
                         24
                      -----------
                           10

                             9
                       ------------
                             10

                               9
                       -------------

         :.` 8 1/3 = 8.33......... = 8.3`

            `3/(11)`     11)30(0.

ক. প্রথম তিনটি ভগ্নাংশ হলো, 1.185, 0.24 ও 0.62 ।ভগ্নাংশ তিনটিতে 

      অনাবৃত্ত অঙ্কের সংখ্যা যথাক্রমে 0, 0, 1 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 

      যথাক্রমে 3, 2, 1 এদের ল.সা.গু 6। অতএব সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোর

      অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1। আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে।

      সুতরাং

       1.185 = 1.185185

       0.24   = 0.2424242

       0.62   = 0.6222222

 খ. 1.185 =` (1185 - 1)/(999)`

              =`(1184)/(999)`

       0.24 =` (24)/(99)`

       0.62 =` (62 - 6)/(90)`

              =` (56)/(90)`

       0.3  =` 3/9 = 1/3`

       :. `1.185 -: 0.24 = (1184)/(999) -: (24)/(99)`

          = `(1184)/(999) xx (99)/(24)`

          =` (1628)/(333) = 4.8`

          `(56)/(90) xx 1/3` 

          =` (56)/(270) = 0.2074`

     4.8 ও 0.2074 যোগ করার জন্য সংখ্যা দুইটিকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক 

     ভগ্নাংশে রুপান্তর করতে হবে। যেখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 ও 

     আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1 ও 3 এর ল.সা.গু 3।

     তাহলে  4.88888 |88

              0.20740|74
         --------------------
              5.09629|62

    :. নির্ণেয় যোগফল = 5.09629  (উত্তর)

 গ.  এখানে ‘খ’ হতে প্রাপ্ত যোগফল,

      `(1.185 -: 0.24) + (0.62 xx 0.3)`

       = 5.09629

     0.45 + 0.134 এর মান বের করার জন্য ভগ্নাংশ দুইটি সদৃশ আবৃত্ত 

     দশমিক ভগ্নাংশে রুপান্তর করি, যেখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 

     এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1 তাহলে 

      0.45   = 0.455

      0.134 = 0.134
   --------------------
               = 0.589

    এখন গাণিতিক বাক্যটির সরলকৃত মান বের করার জন্য

    5.09629 থেকে 0.589 বিয়োগ করতে হবে । বিয়োগ করার জন্য ভগ্নাংশ দুইটিকে 

   সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করতে হবে। এক্ষেত্রে অনাবৃত্ত অংশের  

   অঙ্ক সংখ্যা 3হবে এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে। তাহলে,

    5.09629 |62

    0.58999 |99
---------------------
    4.50629 |63

  :.  গাণিতিক বাক্যটির সরলকৃত মান 
  
   = 4.50629

   =` (450629 - 450)/(99900)`

   =` (450179)/(99900)`

  :. সুতরাং নির্ণেয় সামান্য ভগ্নাংশ   =` (450179)/(99900)` (উত্তর)

ক. ক্যালকুলেটরের মাধ্যমে পাই,

    `sqrt(2)` = 1.414213.........

    প্রথম সংখ্যা = 1.04 = 1.044444........

    দ্বিতীয় সংখ্যা = 5.1302 = 5.1302302........

    সুতরাং `sqrt(2)` সংখ্যাটি ১ম ও ২য় সংখ্যার মাঝে আছে।


 খ. এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1 এবং আবৃত্ত অংশের 

     অঙ্ক হবে 1, 3, 1 এর ল. সা.গু 3

     প্রথমে তিনটি আবৃত্ত দশমিকে সদৃশ করে পাই,

       1.0444

       5.1302

       8.0444
     ------------
      14.2190

             + 1  [এখানে 1 হচ্ছে হাতের ]
  ---------------
     14.2191

  :. সংখ্যা তিনটির গড়  

  =`(14.2191)/3` 

  = `(142191 - 142)/(9990) xx 1/3`

  =` (142049)/(29970)`

  = 4.73970637

  :. তিনটি সংখ্যার গড়  = 4.73970637  (Ans)

 গ. 5.1302 এর বর্গমূল =` sqrt(5.1302)`

     5.1302 = 5.13023023......

     2|5.13023023.......|2.2650

        4
     -----------------
     42|113

            84
     -------------
    446| 2902

            2676
      --------------
      4525|22630

               22625
           -------------
                       5

       অতএব, 5.1302 এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 2.2650

      এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.265

     Ans: 2.2650, 2.265