ক. ১ম সংখ্যা   =` 1 = 2 xx 1 - 1`

            ২য় সংখ্যা   =` 3 = 2 xx 2 - 1`

            ৩য় সংখ্যা   =` 5 = 2 xx 3 - 1`

            ৪র্থ সংখ্যা  =` 7 = 2 xx 4 - 1`

           ......................................

           ......................................

          n তম সংখ্যা = `2 xx n - 1 = 2n - 1`

          নির্ণেয় সাধারণ রাশি (2n - 1) যেখানে ` n in NN`

          উত্তর:  (2n - 1)

 খ. ’ক’ হতে পাই, উদ্দীপকে উল্লিখিত সংখ্যাগুলোর সাধারণ রাশি = 2n - 1

     যেখানে `n in NN`

     এখানে প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ বিজোড় সংখ্যা দেখানোর জন্য এটা প্রমাণ 

      করাই যতেষ্ট হবে যে, `(2n - 1)^2` একটি বিজোড় সংখ্যা।

      এখন, `(2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1`

                               = `4n^2 - 4n + 2 - 1`

                               = `2(2n^2 - 2n + 1) - 1`

                               =` 2m - 1 [2n^2 - 2n + 1 = m`ধরে যেখানে `m in NN`]

             m এর যেকোনো মানের জন্য 2m - 1 একটি বিজোড় সংখ্যা।

             সুতরাং প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ সর্বদা বিজোড় সংখ্যা।

   গ. প্রদত্ত সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।

       ধরি, x যেকোন বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

       :. x = 1 হলে, `x^2 = 1^2 = 1` যাকে 8 দ্বারা ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকবে।

       এখন x > 1 হলে, x = 2n + 1 লেখা যায় যেখানে `n in NN`.

          `:. x^2 = (2n + 1)^2`

                    `= 4n^2 + 4n + 1`

                   ` = 4n(n + 1) + 1` 


       এখানে n এবং n + 1 রাশি দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং এদের মধ্যে 

       একটি জোড় সংখ্যা হবেই।

       :. 4n(n + 1) রাশিটি `4 xx 2` বা, 8 দ্বারা বিভাজ্য। ফলে 4n(n + 1) + 1 রাশিটিকে 

        দ্বারা ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকবে।

       অতএব প্রদত্ত যেকোনো সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকবে।

ক. ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো 2, 4, 6, 8ইত্যাদি।

 খ. মনে করি, x যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

     :. 2x হবে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

     এখন 2x, 2x + 2  দুইটি ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা

      তাহলে 2x(2x + 2) = 2.2x(x + 1) = 4x(x + 1)

       যেহেতু x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। তাহলে দুইটি x (x + 1)

       ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা, যেখানে একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। 

       ফলে x(x + 1) একটি জোড় সংখ্যা হবে।

       মনে করি x(x + 1) = 2m যেখানে m স্বাভাবিক সংখ্যা।

       4x(x + 1) `= 4 xx 2m`

        বা 2x(2x + 2) = 8m যা 8 দ্বারা বিভাজ্য

       অতএব, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা গুণফল 8 দ্বারা বিভাজ্য।

 গ. মনে করি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে

     x, x + 1, x + 2, x + 3

     ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে পাওয়া যায়,

     x(x + 1) (x + 2 (x + 3) + 1

     = x(x + 3) (x + 1) (x + 2) + 1

     = `(x^2 + 3x) (x^2 + 3x + 2) + 1`

     = a(a + 2) + 1; `[x^2 + 3x = a]`

     =` a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2`

     = `(x^2 + 3x + 1)^2`  যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার 

     :.চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলে সাথে 1 যোগ করলে যোগফল 

     একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

ক. প্রদত্ত রাশি =`(m^2 = 3m + 1)^2`

                = `m^4 + 9m^2 + 1 + 6m^3 + 6m + 2m^2`

                = `m^4 +6m^3 + 11m^2 + 6m + 1`

         প্রদত্ত রাশির চলক m এর সর্বোচ্চ ঘাত 4


  খ. প্রদত্ত রাশি থেকে 1 বাদ দিলে রাশিটি দাড়ায়

                =` (m^2 +3m + 1)^2 - 1`

                =` (m^2 + 3m + 1)^2 - (1)^2`

                =`(m^2 + 3m + 1 + 1) (m^2 + 3m + 1 -1)`

                =` (m^2 + 3m + 2) (m^2 + 3m)`

                =` (m^2 + 2m + m + 2) (m^2 + 3m)`

                =` {m(m + 2) + 1(m + 2)} m(m + 3)`

                =` m(m + 1) (m + 2) (m + 3)`

      যেহেতু `m in NN` সুতরাং  m(m + 1), (m + 2) (m + 3)

        চারটি ক্রমিক সংখ্যা।

           Ans: m, m + 1, m + 2, m + 3

  গ. প্রদত্ত রাশির বর্গমূল =`sqrt((m^2 + 3m + 1)^2)`

                          =` m^2 + 3m + 1`

      :. `(m^2 + 3m + 1)` m = 1, 2.....9 পর্যন্ত মানগুলো বসিয়ে পাই,

          m = 1 হলে `(1^2 + 3 xx 1 + 1)` = 5 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 2 হলে `(2^2 + 3 xx 2 + 1)` = 11  যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 3 হলে` (3^2 + 3 xx 3 + 1)` = 19 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 4 হলে` (4^2 + 3 xx 4 + 1)` = 29 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 5 হলে` (5^2 + 3 xx 5 + 1)` = 41 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 6 হলে` (6^2 + 3 xx 6 + 1)` = 55 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

       :. m = 6 হলে প্রদত্ত রাশির বর্গমূল একটি যৌগিক সংখ্যা।

        (Ans): 6

ক. মূলদ সংখ্যা হলো; `5/(12), 0.735, 3.456, 16.457, 2.036 ` (Ans)

 খ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো হলো: 3.456, 16.457

    আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ দশমিকে প্রকাশ করে যোগ করা হলো:

    3.456 = 3.4564564|56

  16.457 = 16.4575757|57
--------------------------------
 যোগফল   = 19.9140322|13

     উত্তর: 19.9140322


  গ. অমূলদ সংখ্যা দুইটি হলো:` sqrt(7), sqrt(8)`

     এখানে, `sqrt(7) = 2.6457513`

              `sqrt(8) = 2.8284271` 

     এখন a = 2.7305 একটি মূলদ

     এবং b = 2.7306006.......একটি অমূলদ সংখ্যা বিবেচনা করি।

     স্পষ্টতই `sqrt(7) <a < sqrt(8)`

      এবং `sqrt(7) < b <sqrt(8)`

   :. নির্ণেয় মূলদ সংখ্যা = 2.7305

      এবং অমূলদ সংখ্যা = 2.7306006......

       Ans: 2.7305, 2.7306006.........

ক. এখানে, 0.438 = 0.4383838............

      এবং` sqrt(10)/2 `= 1.581138.........

      আবার পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল` sqrt(2)` = 1.4142.........

      0.438 ও `sqrt(10)/2` সংখ্যা দুইটির মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা 0.458 ও

      একটি অমূলদ সংখ্যা `sqrt(2)` (Ans)

 খ. ‘ক’ হতে প্রাপ্ত মূলদ সংখ্যা = 0.458

                                =` (458)/(1000)`

                                =` (229)/(500)`

       এবং 0.438 = `(438 - 4)/(990)`

                     =` (434)/(990)`

                     =` (217)/(495)`

        ১ম ভগ্নাংশের হর 500 লব 229

       :. হর> লব, তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

       ২য় ভগ্নাংশের হর 495 ও লব 217

       :. হর> লব, তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

   গ.  0.438 ও `sqrt(10)/2` এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা `sqrt(2)`

             আমরা জানি, 1<2 <4

             :. `sqrt(1 < sqrt(2) < sqrt(4)`

             বা, `1 < sqrt(2) <2`

              `sqrt(2)` 1 2

          সুতরাং `sqrt(2)` এর মান 1 অপেক্ষা 2 ছোট।

          অতএব `sqrt(2)` পূর্ণ সংখ্যা নয়। এখন `sqrt(2)`কে যদি 

          ভগ্নাংশের আকারে লিখা যায় তবে, ধরি`sqrt(2) = p/q`; যেখানে

          p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

           :. `2 p^2/q^2` [বর্গ করে]

          বা, `2q = p^2/q` [ঊভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।]

          স্পষ্টত: 2q পূর্ণ  সংখ্যা কিন্তু ` p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ 

         p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

          :. 2q এবং `p^2/q` সমান হতে পারে না, অর্থাৎ `2q != p^2/q`

          :.` sqrt(2)` এর মান `p/q` আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,

         অর্থাৎ `sqrt(2 != p/q`

         অতএব,  `sqrt(2)` একটি অমূলদ সংখ্যা।