ক. 12-এর বর্গমূল = √12

  এখানে, 3|12.00 00 00|3.464
                9
             ______
              64|300
                   256
                 ____
                  686|4400
                         4116
                     ______
                  6924|28400
                          27696
                        _______
                           704

              অতএব, 12-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 3.464 
        
              এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 3.46

          :. নির্ণেয় বর্গমূল = 3.464, 3.46 (আসন্ন)



  খ. 0.25-এর বর্গমূল = √0.25

         এখানে, 5|0.252525...|0.502
                        25
                     ________
                  1002| 2525
                           2004
                          _____
                           521


        অতএব 0.25-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 0.502 

        এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 0.50

      :. নির্ণেয় মান = 0.502, 0.50 (আসন্ন)

  
   গ.  1.34-এর বর্গমূল = √1.34

         1.34 = 1.344444.......

 এখানে,1|1.34 44 44.......|1.159
            1
           _________
            21|34
                 21
              ______
              225|1344
                    1125
                  ________
                2309|21944
                        20781
                      _______
                        1163 

    অতএব, 1.34-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 1.159

    এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 1.16

    :. নির্ণেয় বর্গমূল = 1.159, 1.16 (আসন্ন)

 
  ঘ.  5.1302-এর বর্গমূল = √5.1302

       5.1302 = 5.130230......

               2|5.130230.....|2.265
                  4
                  ___________
               42|113
                      ________
                 446|2902
                       2676
                      ______
                    4525|22630
                            22625
                            ______
                                   5

           অতএব, 5.1302-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 2.265

           এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.27

         :. নির্ণেয় বর্গমূল = 2.265, 2.27 (আসন্ন)

ক. `0.4 = 4/9`

    :. 0.4 সংখ্যাটি মূলদ।


 খ. `sqrt(9) = sqrt(3 xx 3)`

             `= sqrt(3)^2 = 3`

            `:. sqrt(9)` সংখ্যাটি মূলদ।

 গ. `sqrt(11)`

      যেহেতু 11 পৃর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।

      :. `sqrt(11)` সংখ্যাটি অমূলদ।


 ঘ. `sqrt(6)/3 = sqrt(3 xx 2)/(sqrt(3))^2`

                 `= sqrt(3) xx sqrt(2)/sqrt(3) xx sqrt(3)`

                 `= sqrt(2)/sqrt(3)`

                 `= sqrt(2/3)`

               যেহেতু `2/3` পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।

            :. `sqrt(6)/3` সংখ্যাটি অমূলদ।

 ঙ. `sqrt(8)/sqrt(7) = (sqrt(2) xx sqrt(4))/sqrt(7)`

         `= sqrt(2 xx sqrt(2)^2)/sqrt(7)`

         `= (2sqrt(2))/sqrt(7)`

         `= 2sqrt(2/7)`

          যেহেতু `2/7` পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।

       :. `sqrt(8)/sqrt(7)` সংখ্যাটি অমূলদ।

   
 চ. `sqrt(27)/sqrt(48) = sqrt(3 xx sqrt(9))/sqrt(3 xx sqrt(16))`

          = `sqrt(9)/sqrt(16)`

        `= 3/4`

        `:. sqrt(27)/sqrt(48)`  সংখ্যাটি মূলদ।

 ছ.  `2/3/3/7 = 2/3 -: 3/7`

                `= 2/3 xx 7/3`


 জ. `5.637 = (5639 - 5)/(999)`

               `= (5634)/(999)`

               `= (626)/(111)`

            :. সংখ্যাটি মূলদ।

                `= (14)/9`

               :. সংখ্যাটি মূলদ।

ক.  `(0.3 xx 0.83) -: (0.5 xx 0.1) + 0.35 -: 0.08`
  
      `= ((3/9) xx (83 - 8))/(90) -: (5/(10 xx 1/9)) + (35 - 3)/(90) -: 8/(90)`

      `= (1/3 xx (75)/(90)) -: 5/(90) + (32)/(90) -: 8/(90)`

      `= 5/(18) -: 5/(90) + (32)/(90) xx (90)/8`

      `= 5/(18) xx (90)/5 + 4`

        = 5 + 4

        = 9

   :. নির্ণেয় সরলফল = 9 




  খ.` [(6.27 xx 0.5) -: {(0.5 xx 0.75) xx 8.36}]`

         `-: {(0.25 xx 0.1) xx (0.75 xx 21.3) xx 0.5}`

    
     `= [((627)/(100) xx 5/(10)) -: {(5/(10) xx (75)/(100)) xx (836)/(100)}] `

      
         `-:{((25)/(100) xx 1/(10) xx ((75)/(100) xx (213 - 21)/9) xx 5/(10)}`

     
     `= [(627)/(200) -: {3/8 xx (836)/(100)}] -: {1/(40) xx 3/4 xx (192)/9 xx 5/(10)}`

     
     `= [(627)/(200) -: (627)/(200)] -: {1/(40) xx 16 xx 1/2}`

     `= [(627)/(200) xx (200)/(627)] -: 1/5`

     `= 1 -: 1/5 = 1 xx 5 = 5`

     :. নির্ণেয় সরলফল = 5

ক. যেহেতু 5 পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 

    সেহেতু `sqrt(5)` সংখ্যাটি অমূলদ।

     `4 = 4/1` যা মূলদ  [`p/q` আকারে লেখা যায়]

      :. 4 সংখ্যাটি মূলদ।

 
 খ. এখানে, `sqrt(5)` = 2.236067........

      মনে করি, a = 2.4040040004.......

          এবং b = 2.5050050005........

    স্পষ্টত a ও b দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই `sqrt(5)`অপেক্ষা বড়

     ও  4 অপেক্ষা ছোট।

     অর্থাৎ`sqrt(5) <a <4` এবং `sqrt(5) <b <4`

     আবার a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

      :. a ও b নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় যেখানে উভয় সংখ্যাই অমূলদ।

      [ বি:দ্র: এভাবে অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যাবে। ]

 
  গ.   আমরা জানি, 4 <5 <9

       `:. sqrt(4) < sqrt(5) < sqrt(9)`

        বা, `2< sqrt(5) <3`

      `:. sqrt(5),` 2 থেকে বড় কিন্তু 3 থেকে ছোট।

        অতএব`sqrt(5)` পূর্ণ সংখ্যা নয়।

       `:. sqrt(5)`মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা। 

         যদি`sqrt(5)` মূলদ সংখ্যা হয় তবে

         ধরি `sqrt(5) = p/q;`যেখানে  p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর

          সহমৌলিক এবং  q>1।

          বা, `5 = p^2/q^2` [বর্গ করে]

          বা, `5q = p^2/q` [উভয়পক্ষকে q দ্বারা ভাগ করে]

           স্পষ্টত, `5q` পূর্ণ সংখ্যা।

           কিন্তু `p^2/q`পূর্ণ  সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা 

                 সহমৌলিক এবং q>1।

           সুতরাং`p^2/q`, 5q এর সমান হতে পারে না, অর্থাৎ`5q != p^2/q`

            অতএব, `sqrt(5)` এর মান `p/q` এর আকারের কোনো সংখ্যাই হতে

            পারে না, অর্থাৎ `sqrt(5) != p/q`

           `:. sqrt(5)` মূলদ সংখ্যা নয়।

              সুতরাং `sqrt(5)` অমূলদ সংখ্যা।

ক. দেওয়া আছে,

             `a = sqrt(5), b = sqrt(27/3), c = sqrt(6), d = π`

    এখানে, `b = sqrt(27/3) = sqrt(9) = 3`যা একটি পূর্ণসংখ্যা।
 
     মূলদ সংখ্যা = b ও অমূলদ সংখ্যা = a, c, d




   খ.  আমরা জানি, `4<6<9`

                `:. sqrt(4) <sqrt(6) <sqrt(9)`

               বা, `2<sqrt(6) <3`

               সূতরাং,`sqrt(6)`এর মান 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 থেকে ছোট।

              অতএব, `sqrt(6)`পূর্ণ সংখ্যা নয়।

              `:. sqrt(6)` মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।

              যদি, `sqrt(6)`মূলদ সংখ্যা হয় তবে

              ধরি, `sqrt(6) = p/q;`যেখানে  p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর

                     সহমৌলিক এবং `q>1`

               বা, `6 = p^2/q^2` [বর্গ] করে 

               বা, `6q = p^2/q` [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে ]

               স্পষ্টত: 6q পূর্ণসংখ্যা কিন্তু `p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q

               স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং `q>1`।

               সুতরাং 6q এবং `p^2/q`সমান হতে পারে, অর্থাৎ, `6q != p^2/q`

               `:. sqrt(6)` এর মান `p/q` আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না,

                অর্থাৎ `sqrt(6) != p/q`

                সুতরাং `sqrt(6)`

                 `:. sqrt(6)`অমূলদ সংখ্যা।

 

 গ.    দেওয়া আছে, `b = sqrt(27/3)` = 3; d = π = 3.14159.........

           b ও d এর মাঝে দুইটি মূলদ সংখ্যা:

          (i) 3.1 বা `(31)/(10)`

         (ii) 3.12 বা `(78)/(25)`

          b ও d এর মাঝে দুইটি অমূলদ সংখ্যা:

          মনে করি,

          x = 3.01001000100001...........

          y = 3.101001000100001.....

          স্পষ্টত: x ও y উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 3

          অপেক্ষা বড় এবং 3.14159....... অপেক্ষা ছোট।

          অর্থাৎ 3<3.01001000100001.....<3.14159.......

          এবং  3<3.101001000100001......<3.14159......

           আবার,  x ও y কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।

           :. x ও y দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।