ক. x জন ছাত্র-ছাত্রী ভাড়া = p টাকা

`:.` 1 জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া `= p/x` টাকা

 `:.` y জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া `=(py)/x` টাকা (Ans)


 খ. মনে করি, ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা = x জন 

`:.`  মাথাপিছু ভাড়া`= 3000/x` টাকা 

  এখন, 10 জন ছাত্র-ছাত্রী না অাসায় বাসে

  ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা `=(x-10)` জন

`:.`  তাদের মাথাপিছু ভাড়া `=3000/(x-10)` টাকা

  প্রশ্নমতে,`3000/(x-10)=3000/x+10`

    বা, `3000/(x-10)=(3000+10x)/x`

    বা, `(x-10)(3000+10x)=3000x`

    বা, `3000x+10x^2-30000-100x=3000x`

    বা, `10x^2-100x-30000=0`

    বা, `x^2-10x-3000=0`

    বা,  `x^2-60x+50x-3000=0`

    বা,  `x(x-60)+50(x-60)=0`

    বা,  `(x-60)(x+50)=0`

    হয়,   `x-60=0` অথবা, `x+50=0`

   `:. x= 60`   x`!=`-50 [যেহেতু ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না ]

   `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(x-10) `জন

                           `=(60-10)`জন

                           `=50`জন

   `:.`  মাথাপিছু ভাড়া = `3000/50`টাকা  `= 60` টাকা (Ans.)

    গ. ধরি,  R জন ছাত্র-ছাত্রী না আসলে মাথাপিছু

        ভাড়া 25 টাকা বৃদ্ধি পাবে ।

  `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(60-R)` জন

  `:.`  মাথাপিছু ভাড়া  `= 3000/(60-R)` টাকা

      পূর্বের মাথাপিছু ভাড়া টাকা `= 3000/60`

                                 `=50`টাকা

  প্রশ্নমতে,`3000/(60-R)= 50+25`

      বা,  `3000/(60-R)=75`

      বা,  `3000=75(60-R)`

      বা,  `3000= 4500-75R`

      বা,  `75R= 4500-3000`

      বা,  `75R= 1500`

      বা,  `R=1500/75`

     `:. R= 20` জন (Ans.)

    আবার, ধরি,Q জন ছাত্র-ছাত্রী বেশি আসলে মাথাপিছু ভাড়া 40 টাকা হ্রাস পাবে ।

     `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(60+Q)` জন

      `:.`  মাথাপিছু বাড়া `=3000/(60+Q)` টাকা

         পূর্বের মাথাপিছু ভাড়া  টাকা  `=3000/60`

                                        =50 টাকা 
                     
         প্রশ্নমতে,  `3000/(60+Q)=50-40`

         বা, `3000/(60+Q)= 10`  বা, `3000= 600+10Q`

                                বা, `10Q= 3000-600`

                                 বা,     `10Q= 2400`

                                  বা,    `Q=2400/10`

                                     `:. Q= 240` জন (Ans)

সমাধান:দেওয়া আছে,
 `7x-3y=31...(i)`

 `9x-5y=41...(ii)`

  (i)নং সমীকরণ হতে পাই,

  `7x=31+3y`
 
 `x=31+3y/7...(iii)`

  (ii)নং সমীকরণে `x=31+3y/7` বসিয়ে পাই,

  `9(31+3y)/7-5y=41`

  বা, `279+27y/7-5y=41`

  বা, `279+27y-35y/7=41`

  বা, `279-8y=287` [আড়গুনণ করে]

  বা, `-8y=287-279` [পক্ষান্তর করে]

  বা, `-8y=8`

 `:.y=-1` [উভয়পক্ষকে `(-8)` দ্ধারা ভাগ করে]

  এখন, `(iii)` নং সমীকরণে `y` এর মান বসিয়ে পাই,

  `x=(31+3(-1))/7=31-3/7=28/7=4`

  :.নির্ণেয় সমাধান: `(x,y)=(4,-1)`

সমান্তর ধারার প্রথম পদ`=x`

 সাধারন অন্তর `=d`
   
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম `n` তম পদ =১ম পদ `+(n-1)d`

`:.` সমান্তর ধারার `p` তম পদ `=x+(p-1)d=a...........(i)`
   
 `q` তম পদ `=x+(q-1)d=b..............(ii)`

  এবং` r` তম পদ `=x+(r-1)d=c..............(iii)`

  বামপক্ষ
   `=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)`

  `={x+(p-1)d}(q-r)+{x+(q-1)d}(r-p)+

  {x+(r-1)d}(p-q)`[`a,b,c` এর মান বসিয়ে]

  `=x(q-r)+d(p-1)(q-r)+x(r-p)+d(q-1)(r-p)+`
              `x(p-q)+d(r-1)(p-q)`

 `=x(q-r+r-p+p-q)+d(pq-pr-q+r+qr-pq-r`
                  `+p+pr-qr-p+q)`

 `=x xx 0+d xx 0`

 `=0+0=0`

  =ডানপক্ষ

 `:. a(q-r)+b(r-p)+c(p-a)=0`(দেখানো হলো)

বামপক্ষ`=1+3+5+7+.................+125`
    
 এখানে ধারাটির প্রথম পদ, `a=1`
    
 ধারাটির  সাধারন অন্তর,`d=3-1=2`

 `:.`ইহা একটি সমান্তর ধারা ।
 
  ধরি, ধারাটির `n` তম পদ `=125`
   
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`
 
  বা,`125=1+(n-1)2`
  
 বা,`125=1+2n-2`
  
 বা,`125=2n-1`
  
 বা,`2n = 125+1`
  
 বা,`2n = 126`
  
 বা,`n =126/2`

 `:. n = 63`

 সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,`s_n = n/2{2a+(n-1)d}`

 `:. s_63 = 63/2{2.1+(63-1)2}`

 `= 63/2(2+62 xx 2)`

 `= 63/2(2+124)`

 `= 63/2 xx 126`

 `= 63 xx 63 =3969.`

  আবার ডানপক্ষ =`169+171+173+.......................+209`
  
 এখানে, ধারাটির প্রথম পদ`a=169`
  
 ধারাটির সাধারন অন্তর`d=171-169=2`

 `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা

  ধরি, ধারাটির `n` তম পদ `=209`
 
  আমরা জানি,
 
  সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`
  
  বা,`209=169+(n-1)2`
 
  বা,`209=169+2n-2`
 
  বা,`209=2n+167`
  
  বা,`2n=209-167`
 
  বা,`2n=42`
  
  বা,`n=42/2`

 `:. n=21`

 `:.` সমান্তর ধারার প্রথম `21` পদের সমষ্টি,

 `s_21 =21/2{2.169+(21-1)2}`

 `=21/2(338+20 xx 2)=21/2(338+40)`

 `=21/2 xx 378`

 `=21 xx 189=3969`

 `:. 1+3+5+7+...................+125`

 `=169+171+173+....................+209` (দেখানো হলো)

সমাধান: দেওয়া আছে, 

 `x/2+y/3=1...(i)`

 `x/3+y/2...(ii)`
 
  (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
 
  `x/2+y/3=1`

   বা, `(3x+2y)/6=1`

  `:.3x+2y+=6...(iii)`[ আড় গুণন করে]

  `(ii)` নং সমীকরণ হতে পাই,

  `x/3+y/2=1`

   বা, `(2x+3y)/6=1`

   বা,  2x+3y=6[ আড়গুণন করে]

   বা, 3y=6-2x[ পক্ষান্তর করে]

  `:. y=(6-2x)/3...(iv)`

  (iii) নং সমীকরণে `y=(6-2x)/3`বসিয়ে পাই,

  `3x+2xx(6-2x)/3=6`

   বা, `3x+(12-4x)/3=6`

   বা, `9x+(12-4x)/3=6`

   বা, `(5x+12)/3=6`

   বা, `5x+12=18` [ আড় গুণন করে]

   বা, `5x=18-12` [ পক্ষান্তর করে]

   বা, `5x=6`

  `:. x=6/5`[ উভয় পক্ষকে 5 দ্ধারা ভাগ করে]
 
  এখন, `(iv)` নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

  `y=6-2xx(6/5)/3=6-(12/5)/3=(30-12/5)/3=(18/5)/3=18/(5xx3)=6/5`
 

   :. নির্ণেয় সমাধান:`(x,y)=(6/5,6/5)`