সমাধান: দেওয়া আছে,

 `x/a+y/b=2....(i)`

 `ax+by=a^2+b^2...(ii)`

  (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

  `y/b=2-x/a`

  বা,`y/b=(2a-x)/a`

  `:. y/b=(2ab-bx)/a...(iii)`

 `(ii)` নং সমীকরণে  `y=(2ab-bx)/a` বসিয়ে পাই,

 ` ax+(b(2ab-bx)/a)=a^2+b^2`

  বা, `a^2x+2ab^2-b^2x)/a=a^2+b^2`

  বা, `a^x-b^2x+2ab^2=a^3+ab^3`  [ আড়গুণন করে]

  বা, `a^2x-b^2=(a^3+ab^2-2ab^2` [ পক্ষানতর করে]

  বা, `x(a^2-b^2)=a^3-ab^2`

  বা, `x(a^2-b^2)=a(a^2-b^2)`

  বা, `x=(a(a^2-b^2)/(a^2-b^2))`
 
 `:. x=a`

 এখন, `(iii)` নং সমীকরণে  `x` এর মান বসিয়ে পাই,

 `y=(2ab-ab)/a=ab/a`

  `:. y=b`

  `:.` নির্ণেয় সমাধান :`(x,y)=(a,b)`

মনেকরি, ঐ ব্যক্তি `n` টি কিস্তিতে ঋন পরিশোধ করেন ।

 ধরি, প্রথম কিস্তি হবে,`a=1`

 দ্বিতীয় কিস্তি হবে,`a_1 =(1+2)`বা `3` টাকা

 তৃতীয় কিস্তি হবে,`a_2=(3+2)` বা `5` টাকা
 .............................................
 ...........................................
  
 কিস্তির ধারা হবে`1+3+5+...............`

 তাহলে ধারাটির প্রথম পদ,`a=1`

 `:.` এটি একটি সমান্তর ধারা । সাধারন অন্তর,` d=3-1=2` টাকা

  কিস্তিগুলোর সমষ্টি`s_n =2500`টাকা
 
 আমরা জানি,`s_n =n/2{2a+(n-1)d}`
  
 বা,`2500=n/2{2.1+(n-1)2}`
  
 বা,`2500=n/2(2+2n-2)`
  
 বা,`2500=n/2 .2n`  বা,`2500 =n^2`
  
 বা,`n = !=sqrt2500`[বর্গমূল করে]
  
 বা,`n =50`[(-) ‍চিহ্ন বর্জন করে; যেহেতু কিস্তি সংখ্যা ধনাত্বক]

 `:. n= 50`

 `:. 50`টি কিস্তিতে ঋন পরিশোধ করবে ।

 `:. 50`টি ।

 Ans:`50`

সমাধান: দেওয়া, `7x-3y=31...(i)`
         
                   `9x-5y...(ii)`

  `(i)` নং সমীকরণকে 5 দ্ধারা এবং `(ii)` নং সমীকরণকে 3 দ্ধারা গুন করে পাই,
  
    `35x-15y=155...(iii)`
 
    `27x-15y=123...(iv)`

    `(iii)` নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

   `(35x-15y)-(27x-15y)=155-123`

    বা, `35x-15y-27x+15y=32`

    বা, `8x=32`

  `:. x=4` [উভয়পক্ষকে 8 দ্ধারা ভাগ করে]
 
   এখন `(i)` নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

   `7+4-3y=31`

   বা,`28-3y=31`

   বা,`-3y=31-28`

   বা,`-3y=3`

  `:.y=-1` [ উভয়পকাষকে `(-3)` দ্ধারা ভাগ করে]

  `:.` নির্ণেয় সমাধান :`(x,y)=(4,-1)`

মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্কটি `= x`

  তাহলে দশক স্থানীয় অঙ্কটি `= 9-x`

 `:.` সংখ্যাটি `= 10x` (দশক সথানীয় অঙ্ক) +  একক স্থানীয় অঙ্ক

               `=10(9-x)+x`

              `=(90-10x)+x`      
                                        
              `=90-9x`

   অঙ্কদ্বয় স্থানবিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে 

   `= 10xxx+(9-x)`

   `=10x+9-x`

   `=9x+9`(Ans.)



  খ. প্রশ্নমতে, `9x+9= 90-9x-45`

     বা,  `9x+9x= 45-9` [পক্ষান্তর করে]

     বা,   `18x= 36`

     বা,     `x= 2`

    `:.` সংখ্যাটি `= 90-9x`

                   `= 90-(9xx2)`

                   `= 90-18`

                   `=72`(Ans.)



  গ. আমরা জানি, প্রকৃত ভগ্নাংশের লব হর অপেক্ষা ছোট হয় ।

     ‘খ’ হতে পাই সংখ্যাটি =72

   তাহলে ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশের হর = দশক স্থানীয় অঙ্ক = 7

        ”        ”     লব = একক স্থানীয় অঙ্ক = 2

  মনে করি,  ভগ্নাংশটির লব ও হর সাথে x যোগ করতে হবে  ।

  প্রশ্নমতে,  `(2+x)/(7+x) = 1/2`

       বা, `4+2x =7+x`

       বা, `2x-x = 7-4`

     `:. x= 3`(Ans.)

সমাধান:(ক) `P = {a}, Q= {b, c}` হলে `P xx Q` এবং `Q xx P` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`P = {a}` এবং `Q = {b, c}`
`:. P xx Q = {a} xx {b, c}`
`= {(a, b), (a, c)}`
এবং
`Q xx P = {b, c} xx {a}`
`= {(b, a), (c, a)}`Ans. `{(a, b), (a, c)}; {(b, a), (c, a)}`(খ) `A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6}` এবং `C = {x, y}` হলে, `(A nn B) xx C` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6}`
এবং `C = {x, y}`
এখানে,
`A nn B = {3, 4, 5} nn {4, 5, 6}`
`= {4, 5}`
`:. (A nn B) xx C = {4, 5} xx {x, y}`
`= {(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)}`Ans. `{(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)}.`(গ) `P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7}` এবং `R = P\Q` হলে, `(P uu Q) xx R` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`P = {3, 5, 7}` এবং ` Q = {5, 7}`
`:. R = P\Q`
`= {3, 5, 7} - {5, 7}`
`= {3}.`
এখানে,
`P uu Q = {3, 5, 7} uu {5, 7}`
`= {3, 5, 7}`
`(P uu Q) xx R = {3, 5, 7} xx {3}`
`= {(3, 3), (3, 5), (3, 7)}.`Ans. `{(3, 3), (3, 5), (3, 7)}.`