বীজগণিতিক রাশি, গণিত - নবম-দশম শ্রেণি

Question:`x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)` একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ হলে----

 ক. দেখাও যে, `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0`

 খ. প্রমাণ কর যে, `x = sqrt(3) + sqrt(2)`

 গ. `x^5 + 1/x^5` এর মান নির্ণয় কর। 
Answerক. দেওয়া আছে,

        `x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)`

        `(x^6 + 1)/x^3 = 18sqrt(3)`

       `x^6 + 1  = 18sqrt(3) x^3`

      `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0`

      `:. x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0` (দেখানো হলো)

    খ.  ‘ক’ অংশ হতে পাই,

       `x^6 - 18sqrt(3) x^6 + 1 = 0`

       বা, `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 243 - 242 = 0`

       বা, `(x^3)^2 - 2.x^3.9sqrt(3) + (9sqrt(3))^2 - 242 = 0`

       বা, `(x^3 - 9sqrt(3))^2 = 242`

       বা, `(x^2 - 9sqrt(3))^2 = 121 xx 2`

        বা,  `x^3 - 9sqrt(3) = 11sqrt(2)` [বর্গ মূল করে]

         বা, `x^3 = 9sqrt(3) + 11sqrt(2)`

         বা, `x^3 = 3sqrt(3) + 9sqrt(2) + 6sqrt(3) + 2sqrt(2)`

         বা, `x^3 = (sqrt(3))^3 + 3.(sqrt(3))^2. sqrt(2) + 3.sqrt(3) . (sqrt(2))^2 + (sqrt(2))^3`

         বা, `x^3 = (sqrt(3) + sqrt(2))^3`

          বা, `x = sqrt(3) + sqrt(2)`  [ঘনমূল করে]

         `:. x = sqrt(3) + sqrt(2)`   (প্রমাণিত)

  গ. ‘খ’ হতে পাই,

      `x = sqrt(3) + sqrt(2)`

    `:. 1/x = 1/(sqrt(3) + sqrt(2)`

    `= (sqrt(3) - sqrt(2))/((sqrt(3) + sqrt(2)) (sqrt(3) - sqrt(2))` 

                                 [লব ও হরকে `sqrt(3) - sqrt(2)` দ্বারা গুণ করে]

     `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(sqrt(3))^2 - (sqrt(2))^2`

     `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(3 - 2)`

     `= sqrt(3) - sqrt(2)`

     `:. x + 1/x = sqrt(3) + sqrt(2) + sqrt(3) - sqrt(2) = 2sqrt(3)`

     এখন, `x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`

                                   `= (2sqrt(3))^2 - 2`

                                     = 12 - 2

                                     = 10

     আবার, `(x^3 + 1/x^3) (x^2 + 1/x^2) = x^5 + 1/x^5 + (x + 1/x)`

               বা, `18sqrt(3) xx 10 = x^5 + 1/x^5 + 2sqrt(3) [:. x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)]`

                বা, `x^5 + 1/x^5 = 180sqrt(3) - 2sqrt(3)`

               `:. x^5 + 1/x^5 = 178sqrt(3)`   (Ans)

Report

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

`abx^2 + acx^3 + adx^4` 
Answer`abx^2 + acx^3 + adx^4`

 `= ax^2 (b + cx + dx^2)` (Ans)

Report

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `a^2 + ab + ac + bc` 
Answer`a^2 + ab + ac + bc = a(a + b) + c(a + b)`

                                 `= (a + b) (a + c)` (Ans)

Report

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `ab + a - b - 1` 
Answer`ab + a - b - 1 = a(b + 1) - 1(b + 1)`

                      `= (b + 1) (a - 1)` (Ans)

Report

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

 `(x - y) (x + y) + (x - y) (y + z) + (x - y) (z + x)` 
Answer`(x - y) (x + y) + (x - y) (y + z) + (x - y) (z + x)`

 `= (x - y) {(x + y) + (y + z) + (z + x)}`

 `= (x - y) (x + y + y + z + z + x)`

 `= (x - y) {2(x + y + z)}`

 `= 2(x - y) (x + y + z)`   (Ans)

Report

Question:`x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)` একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ হলে---- ক. দেখাও যে, `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0` খ. প্রমাণ কর যে, `x = sqrt(3) + sqrt(2)` গ. `x^5 + 1/x^5` এর মান নির্ণয় কর।

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `abx^2 + acx^3 + adx^4`

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `a^2 + ab + ac + bc`

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `ab + a - b - 1`

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `(x - y) (x + y) + (x - y) (y + z) + (x - y) (z + x)`