বীজগণিতিক রাশি, গণিত - নবম-দশম শ্রেণি

বীজগণিতিক রাশি

Question:`x^2 - 2sqrt(30) - 11 = 0, x > 0`

   ক. x এর মান নির্ণয় কর।

   খ. দেখাও যে, `x^3 + 1/x^3 = 42sqrt(6)`

   গ. `(x^2 + 1/x^2) (x^3 - 1/x^3)` এর মান নির্ণয় কর। 
Answerক. দেওয়া আছে, `x^2 - 2sqrt(30) - 11 = 0, x > 0`

             বা, `x^2 = 2sqrt(30) + 11`

             বা, `x^2 = 6 + 2sqrt(30) + 5`

             বা, `x^2 = (sqrt(6))^2 + 2.sqrt(6).sqrt(5) + (sqrt(5))^2`

             বা, `x^2 = (sqrt(6) + sqrt(5))^2`

               `:. x = sqrt(6) + sqrt(5)`

 খ. যেহেতু `x = sqrt(6) + sqrt(5)`

          `:. 1/x = 1/(sqrt(6) + sqrt(5))`

        `= (sqrt(6) - sqrt(5))/(sqrt(6) - sqrt(5)) (sqrt(6) + sqrt(5))` 
                                                       [লব ও হরকে `(sqrt(6) - sqrt(5))` দ্বার গুণ করে ]

       `= (sqrt(6) - sqrt(5))/(sqrt(6)^2 - (sqrt(5))^2 `

        `= (sqrt(6) - sqrt(5))/(6 - 5) = sqrt(6) - sqrt(5)`

        `:. x + 1/x = 2sqrt(6)`

    বামপক্ষ  `= x^3 + 1/x^3`

              `= (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x (x + 1/x)`

              `= (2sqrt(6))^3 - 3.2sqrt(6)`

             `= 48sqrt(6) - 6sqrt(6)`

             `= 42sqrt(6)`

               = ডানপক্ষ

   `:. x^3 + 1/x^3 = 42sqrt(6)` (দেখানো হলো)

  গ. এখন, `x - 1/x = 2sqrt(5)`

      `:. x^2 + 1/x^2 = (x - 1/x)^2 + 2.x.1/x = (2sqrt(5))^2 + 2 = 20 + 2 = 22`

       এবং `x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3.x.1/x (x - 1/x)`

              `= (2sqrt(5)^3 + 3.2sqrt(5)`

              `= 40sqrt(5) + 6sqrt(5)`

               `= 46sqrt(5)`

       অতএব `(x^2 + 1/x^2) (x^3 - 1/x^3)`

                `= 22 xx 46sqrt(5) = 1012sqrt(5)`  (Ans)

Report

Question:a + b = 5 এবং ab = 6 হলে,

  ক. প্রমাণ কর যে, `(a - b)^2 = 1`

  খ. `a^3 + b^3 + 4(a - b)^2` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `3(a^2 + b^2) = a^3 + b^3 + 4(a - b)^2` 
Answerক. দেওয়া আছে, a + b = 5 ab = 6

    এখন, বামপক্ষ `= (a - b)^2`

                     `= (a + b)^2 - 4ab`

                     `= 5^2 - 4.6`  [মান বসিয়ে]

                     `= 25 - 24`

                     `= 1`

                       =  ডানপক্ষ

      `:. (a - b)^2 = 1`   (প্রমাণিত)

 খ.   প্রদত্ত রাশি, `a^3 + b^3 + 4 (a - b)^2`

                `= {(a + b)^3 - 3ab (a + b)} + 4.1` ['ক' হতে পাই]

                `= {5^2 - 3.6.5} + 4` [মান বসিয়ে]

                `= {(125 - 90} + 4`

                `= 35 + 4`

                `= 39`  (Ans)

  গ. বামপক্ষ` = 3 (a^2 + b^2)`

               `= 3/2. 2(a^2 + b^2)`

               `= 3/2 {(a + b)^2 + (a - b)^2}`

               `= 3/2 {5^2 + 1} = 3/2 {25 + 1} = 3/2.26 = 39`

              ` = a^3 + b^3 + 4(a - b)^2`  [’খ’ হতে পাই]

                 = ডানপক্ষ

       `:. 3 (a^2 + b^2) = a^3 + b^3 + 4(a - b)^2`  (দেখানো হলো)

Report

Question:`x = sqrt(5) + sqrt(3)`

 ক. `1/x` এর মান কত?

 খ. `x^3 + 1/x^3` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `4(x^2 - 1/x^2)`  এর মান `x^3 + 1/x^3`

         এর মানের চেয়ে বড়। 
Answerক. দেওয়া আছে, `x = sqrt(5) + sqrt(3)`

    বা, `1/x = 1/(sqrt(5) + sqrt(3))`  [ব্যস্তকরণ করে]

    `= (1 (sqrt(5) - sqrt(3)))/((sqrt(5) + sqrt(3)) (sqrt(5) - sqrt(3))`

                            [লব ও হরকে `sqrt(5) - sqrt(3)` দ্বারা গুণ করে ]

    `= (sqrt(5) - sqrt(3))/(sqrt(5))^2 - (sqrt(3))^2 = (sqrt(5) - sqrt(3))/(5 - 3)`

    `= (sqrt(5) - sqrt(3))/2`  (Ans)

  খ. `x + 1/x = sqrt(5) + sqrt(3) + (sqrt(5) - sqrt(3))/2`

       `= (2sqrt(5) + 2sqrt(3) + sqrt(5) - sqrt(3))/2`

       `= (3sqrt(5) + sqrt(3))/2`

   এখন, `x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x (x + 1/x)`

              `= (x + 1/x)^3 - 3(x + 1/x)`

              `= ((3sqrt(5) + sqrt(3)/2)^3 - 3((3sqrt(5) + sqrt(3))/2)`

              `= (4.22)^3 - 3 xx 4.22`  [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

              `= 75.151 - 12.66`

              `= 62.491`   (Ans)

   গ.   `x + 1/x = (3sqrt(5) + sqrt(3))/2`  [’খ’ হতে পাই,]

      এবং  `x - 1/x = sqrt(5) + sqrt(3) - ((sqrt(5) - sqrt(3))/2)`

        `= (2sqrt(5) + 2sqrt(3) - sqrt(5) + sqrt(3))/2 = (sqrt(5) + 3sqrt(3))/2`

      `:. 4(x^2 - 1/x^2) = 4(x + 1/x) (x - 1/x)`

                                    `= 4. ((3sqrt(5) + sqrt(3))/2) ((sqrt(5) + 3sqrt(3))/2)`

                                    `= (3sqrt(5) + sqrt(3)) (sqrt(5) + 3sqrt(3))`

                                     `= 15 + sqrt(15) + 9sqrt(15) + 9`

                                     `= 24 + 10sqrt(15)`

                                     `= 24 + 10(3.873)`

                                     `= 24 + 38.73`    [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

                                       = 62.73

        `:. 4(x^2 - 1/x^2)` এর মান  `x^3 + 1/x^3` এর চেয়ে বড়।

Report

Question:`x + 1/x = 2sqrt(2)`

  ক. `x^2 + 1/x^2` এর মান নির্ণয় কর।

  খ. `x^4 + 1/x^4` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `x^3 + 1/x^3 = 10sqrt(2)` 
Answerক. দেওয়া আছে, `x + 1/x = 2sqrt(2)`

 `:. x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`

                        `= (2sqrt(2))^2 - 2 = 4.2 - 2 = 8 - 2`

                        `= 6` (Ans)

  খ. এখন, `x^4 + 1/x^4 = (x^2)^2 + (1/x^2)^2`

                           `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2.x^2. 1/x^2`

                          `= {(x + 1/x)^2 - 2.x.1/x}^2 - 2`

                          `= {(2sqrt(2))^2 - 2}^2 - 2`

                          `= (8 - 2)^2 - 2`

                          `= 6^2 - 2 = 36 - 2`

                          `= 34`  (Ans)

 গ. বামপক্ষ`= x^3 + 1/x^3`

         `= (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x. (x + 1/x)`

         `= (2sqrt(2))^3 - 3(2sqrt(2))`

         `= 2^3.(sqrt(2))^3 - 6sqrt(2)`

         `= 8.2sqrt(2) - 6sqrt(2)`

         `= 16sqrt(2) - 6sqrt(2)`

         `= 10sqrt(2)`

          = ডানপক্ষ

        :.` x^3 + 1/x^3 = 10sqrt(2)`  (দেখানো হলো)

Report

Question:`a + b = sqrt(7)` এবং `a - b = sqrt(5)` হলে

  ক. `a^2 + b^2` এর মান কত?

  খ. প্রমাণ কর যে, `8ab(a^2 + b^2) = 24`

  গ. `(a - b)^3 + (a + b)^3 + 6a(a^2 - b^2)` এর মান নির্ণয় কর। 
Answerক. দেওয়া আছে, `a + b = sqrt(7), a - b = sqrt(5)`

 আমরা জানি,`2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2`

                                   `= (sqrt(7))^2 + (sqrt(5))^2`

                                   `= 7 + 5 = 12`

       `:. a^2 + b^2 = 6`   (Ans)

 খ. `a^2 + b^2 = 6`  [(ক) হতে পাই]

     এখন, `8ab(a^2 + b^2) = 4ab.2(a^2 + b^2)`

                                    `= {(a + b)^2 - (a - b)^2} 2.6`

                                   `= {(sqrt(7))^2 - (sqrt(5))^2}.12`

                                   `= (7 - 5).12 = 24`

                              `:. 8ab (a^2 + b^2) = 24`

  গ. দেওয়া আছে,

     `a + b = sqrt(7)`............(i)

      `a - b = sqrt(5)`.............(ii)

    `:. (a + b) (a - b) = sqrt(7) xx sqrt(5)`

      বা, `a^2 - b^2 = sqrt(35)`

     সমীকরণ  (i) ও  (ii) যোগ করে পাই,

    `a + b + a - b = sqrt(7) + sqrt(5)`

     বা, `2a = sqrt(7) + sqrt(5)`

    `:. a = (sqrt(7) + sqrt(5))/2`

   এখন, `(a - b)^3 + (a + b)^3 + 6a(a^2 - b^2)`

     `= (sqrt(5))^3 + (sqrt(7))^3 + 6((sqrt(7) + sqrt(5))/2) (sqrt(35))`

     `= 5sqrt(5) + 7sqrt(7) + 3sqrt(245) + 3sqrt(175)`

     `= 5sqrt(5) + 7sqrt(7) + 21sqrt(5) + 15sqrt(7)`

     `= 22sqrt(7) + 26sqrt(5)`   (Ans)

Report

First Prev 14 15 16 17 18 Next Last

Question:`x^2 - 2sqrt(30) - 11 = 0, x > 0` ক. x এর মান নির্ণয় কর। খ. দেখাও যে, `x^3 + 1/x^3 = 42sqrt(6)` গ. `(x^2 + 1/x^2) (x^3 - 1/x^3)` এর মান নির্ণয় কর।

Question:a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, ক. প্রমাণ কর যে, `(a - b)^2 = 1` খ. `a^3 + b^3 + 4(a - b)^2` এর মান নির্ণয় কর। গ. দেখাও যে, `3(a^2 + b^2) = a^3 + b^3 + 4(a - b)^2`

Question:`x = sqrt(5) + sqrt(3)` ক. `1/x` এর মান কত? খ. `x^3 + 1/x^3` এর মান নির্ণয় কর। গ. দেখাও যে, `4(x^2 - 1/x^2)` এর মান `x^3 + 1/x^3` এর মানের চেয়ে বড়।

Question:`x + 1/x = 2sqrt(2)` ক. `x^2 + 1/x^2` এর মান নির্ণয় কর। খ. `x^4 + 1/x^4` এর মান নির্ণয় কর। গ. দেখাও যে, `x^3 + 1/x^3 = 10sqrt(2)`

Question:`a + b = sqrt(7)` এবং `a - b = sqrt(5)` হলে ক. `a^2 + b^2` এর মান কত? খ. প্রমাণ কর যে, `8ab(a^2 + b^2) = 24` গ. `(a - b)^3 + (a + b)^3 + 6a(a^2 - b^2)` এর মান নির্ণয় কর।