ক. দেওয়া আছে, 

 `x = 9 + 4sqrt(5)`

   `= 5 + 4sqrt(5) + 4`

   `= (sqrt(5))^2 + 2. sqrt(5) . 2 + 2^2`

   `= (sqrt(5) + 2)^2`     (Ans)

  খ. ‘ক’ হতে পাই,

   `x = (sqrt(5) +2)^2`

   :.` sqrt(x) = sqrt(5) + 2`

   :.` 1/sqrt(x) = 1/(sqrt(5) + 2)` [বিপরীতকরণ করে]

   `= (sqrt(5) - 2)/(sqrt(5) + 2) (sqrt(5) - 2)`

   `= (sqrt(5) - 2)/(sqrt(5)^2 - (2)^2`

   `= (sqrt(5 - 2)/(5 - 4)`

   `= sqrt(5) - 2`

 :.` (sqrt(x) - 1/sqrt(x))^2`

 ` = (sqrt(5) + 2 - sqrt(5) + 2)^2` [মান বনিয়ে]

  `= (4)^2`

    = 16  Ans

  
  গ. দেওয়া আছে, 

   `x = 9 + 4sqrt(5)`

    :. `1/x = 1/(9 + 4sqrt(5)`

  `= (9 - 4sqrt(5))/((9 + 4sqrt(5)) (9 - 4sqrt(5))`

  `= (9 - 4sqrt(5))/(81 - (4sqrt(5))^2`

  `= (9 - 4sqrt(5))/(81 - 80)`

  `= 9 - 4sqrt(5)`

    :. `1/x = 9 - 4sqrt(5)`

   :.` x + 1/x = 9 + 4sqrt(5) + 9 - 4sqrt(5)`

    বা, `x + 1/x = 18`

    বা, `(x + 1/x)^2 = 18^2` [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

    বা, `x^2 + 2.x. 1/x + 1/x^2 = 324`

    বা, `x^2 + 1/x^2 = 324 - 2`

    বা, `(x^4 + 1)/x^2 = 322`

    বা, `x^4 + 1 = 322x^2`

    :.` x^4 - 322x^2 + 1 = 0`

খ. দেওয়া আছে, a + b + c = 15

   `a^2 + b^2 + c^2 = 83`

  ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত ab + bc + ca = 71

  প্রদত্ত রাশি,  

 `= (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2`

 `= a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2`

 `= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)`

 `= 2 xx 83 - 2 xx 71`

 `= 166 - 142`

 `= 24`   (Ans)


 গ. বামপক্ষ 

  = `(a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2`

  =` a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2bc + c^2 + c^2 + 2ca + a^2`

  =` 2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca)`

   =` 2 xx 83 + 2 xx 71`

   =` 166 + 142`

   = 308

   = ডানপক্ষ

  :.` (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2` 

    = 308   (দেখানো হলো)

ক. দেওয়া আছে, `a + b = sqrt(5)`

     এবং  a - b = 2

  আমরা জানি,  `a^2 - b^2 `

  `= (a + b) (a - b)`

  `= (sqrt(5)) (2)`

  `= 2sqrt(5)`


  খ. দেওয়া আছে,

   `x - 1/x = p`

    বা, `((x^2 - 1)/x) = p`

    বা, `x^2 - 1 = px`

    বা, `x^2 - px = 1`

    বা, `x(x - p) = 1`

    :. `c/(x(x - p)`

    `= c/1; [:. x(x - p) = 1]`

      = c   (Ans)

 গ. দেওয়া আছে, 

    `y^2 = 2y - 1`

   বা, `y^2/y = 2y/y - 1/y,` [y দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]

   বা, `y = 2 - 1/y`

   :. `y + 1/y = 2`

   বামপক্ষ 

  `= y^2 + 1/y^2`

  `= (y + 1/y)^2 - 2.y. 1/y`

  `= (2)^2 - 2`

  `= 4 - 2 = 2`

 ডানপক্ষ 

  `= y^4 + 1/y^4`

  `= (y^2)^2 + (1/y^2)^2`

  `= (y^2 + 1/y^2)^2 - 2.y^2. 1/y^2`

  `= {(y + 1/y)^2 - 2.y. 1/y}^2 - 2`

  `= {2^2 - 2}^2 - 2`

  `= (4 - 2)^2 - 2`

  `= 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2`

   :. `y^2 + 1/y^2 = y^4 + 1/y^4`  (প্রমাণিত)

ক. 105 এর বর্গ

  `= (105)^2`

  `= (100 + 5)^2`

  `= (100)^2 + 2.100.5 + (5)^2`

  `= 10000 + 1000 + 25`

  `= 11025`   (Ans)


 খ. দেওয়া আছে,
  
   `a - 1/a = 4`

   :. `a^2 + 1/a^2 `

  `= (a - 1/a)^2 + 2.a. 1/a`

  `= (4)^2 + 2`

  `= 16 + 2`

    = 18  (Ans)

  আবার,  

  `(a + 1/a)^2 = (a - 1/a)^2 + 4. a. 1/a`

                    `= (4)^2 + 4`

                    `= 16 + 4`

                      = 20

  :. `a + 1/a = +- sqrt(20) = +- 2sqrt(5)`

  এখন,   `a^2 - 1/a^2 = (a + 1/a) (a - 1/a)`

                       `= (+- 2sqrt(5))4`

                       `= +- 8sqrt(5)`   (Ans)

   গ. দেওয়া আছে, 

   `a - 1/a = 4`

   বা, `(a - 1/a)^2 = (4)^2`  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

   বা, `a^2 - 2.a. 1/a + (1/a)^2 = 16`

   বা, `a^2 + 1/a^2 - 2 = 16`

   বা, `a^2 + 1/a^2 = 16 + 2` [পক্ষন্তর করে]

   বা, `(a^2 + 1/a^2)^2 = (18)^2` [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

   বা, `(a^2)^2 + 2.a^2. 1/a^2 + (1/a^2)^2 = 324`

   বা, `a^4 + 2 + 1/a^4 = 324`

   বা, `a^4 + 1/a^4 = 324 - 2`

   বা,  `a^4 + 1/a^4 = 322`

   :. `a^4 = 322 - 1/a^4`   (প্রমাণিত)

ক. দেওয়া আছে, 

  `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8`

  এবং `a^2 - ab + b^2 = 2`

  এখন,  `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8`

  বা, `(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 - a^2b^2 = 8`

  বা, `(a^2 + b^2) - (ab)^2 = 8`

  বা,  `(a^2 + b^2 + ab) (a^2 + b^2 - ab) = 8`

  বা, `(a^2 + ab + b^2) xx 2 = 8`

  বা, `a^2 + ab + b^2 = 4`

 `:. a^2 + ab + b^2 = 4`  (Ans)


  খ. দেওয়া আছে, 

   ’ক’ থেকে `a^2 - ab + b^2 = 2.................(i)`

   `a^2 + ab + b^2 = 4..............(ii)`

     (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

   `a^2 - ab + b^2 + a^2 + ab + b^2 = 2 + 4`

     বা, `2(a^2 + b^2) = 6`

     বা,  `2 xx 2 (a^2 + b^2) = 6 xx 2`

   `:. 4a^2 + 4b^2 = 12`    (Ans)

   (ii)  থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,

  `a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - b^2 = 4 - 2`

    বা, `2ab = 2`

    বা,  `3 xx 2ab = 2 xx 3`

  `:. 6ab = 6 `(Ans)


  গ. ‘খ’ থেকে

    `4(a^2 + b^2) = 12`

     :.` a^2 + b^2 = 3`

    এবং 6ab = 6

     :. ab = 1

   `:. (a^2 - b^2)^2 `

   `= (a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2`

   `= 3^2 - 4.1^2`

   `= 9 - 4`

     = 5

    :. `a^2 - b^2 = sqrt(5)`  [ধনাত্নক মান নিয়ে]

   বামপক্ষ

  `= 8(a^4 - b^4)`

  `= 8{(a^2)^2 - (b^2)^2}`

  `= 8(a^2 + b^2) (a^2 - b^2)`

  `= 8 xx 3 xx sqrt(5)`

  `= 24sqrt(5)`

   = ডানপক্ষ

  `:. 8(a^4 - b^4) = 24sqrt(5)`  (প্রমাণিত)