ক. দেওয়া আছে, a(x+y)=b(x-y)=2ab
           
           অথাৎ a(x+y)=2ab
             
                 :. x+y=2b
             
              এবং b(x-y)=2ab
            
                  :. x-y=2a
            
   :.  সমীকরণদ্বয়, x+y=2b
              
                  x-y=2a (Ans)

 খ. ‘ক’ হতে পাই,
                   x+y=2b.......................(i)
                  
                   x-y=2a........................(ii)

  (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
             
                     x-y=2a
            
                    :.x=2a+y..................(iii)
             
                    x=2a+y,(i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
                 
                    2a+y+y=2b
            
                    বা,2y+2a=2b
           
                    বা, y+a=b
          
                     :.y=b-a
    
                   y এর মান  (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
             
                    x=2a+b-a
           
                   বা,x=b+a
          
                   :.x=a+b
  
              :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=(a+b,b-a)  (Ans)

   গ. ‘খ’ এর (i)  ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,

        x+y-2b=0

        x-y-2a=0
  
      উপরিউক্ত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
     
     `x/(1(-2a)-(-1)(-2b))`=`y/(1(-2b)-1(2a))`=`1/(1(-1)-1xx1)`

     বা, `x/(-2a-2b)`=`y/(-2b+2a)`=`1/(-1-1)`

     বা,`x/(-2(a+b))`=`y/(-2(b-a))`=`1/(-2)`
   
     :.`x/(-2(a+b))`=`1/(-2)`এবং  `y/(-2(b-a))`=`1/(-2)`
 
     বা,`x/(a+b)`=1                 বা, `y/(b-a)`=1
 
     :.x=a+b                             :.y=b-a

     :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=(a+b,b-a)
 
      অথাৎ পূর্বের সমাধানের সত্যতা যাচাই হলো ।

ক. দেওয়া আছে, x+5y=36..............(i)
               
            `(x+y)/(x-y)`=`5/3`..................(ii)
   
          (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
          
          `(x+y)/(x-y)`=`5/3`
        
          বা,5x-5y=3x+3y
        
          বা,5x-3x=5y+3y
         
          বা,2x=8y
        
          :. x=4y

  খ. ‘ক’ হতে পাই,
         x=4y..................(iii)
        
         x=4y,(i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
          
         4y+5y=36
         
         বা,9y=36
        
        :. y=4
 
      y  এর মান (iii) নং সমীকরণ বসিয়ে পাই,
           
        x=4xx4
           
        :. x=16
  
    :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=(16,4) (Ans)

  গ. ‘ক’ এর (i) নং থেকে পাই,
        
     x+5y-36=0
  
  খ, এর (iii) নং থেকে পাই,
      
     x-4y+0=0

   উপরিউক্ত সমীকরণদ্বয়ের আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
     
   `x/(5xx0-(-4)xx(-36))`=`y/((-36)xx1-0xx1)`=`1/(1xx(-4)-1xx5)`
     
    বা,`x/(-144)`=`y/(-36)`=`1/(-4-5)`
     
    বা,`x/(-144)`=`y/(-36)`=`1/(-9)`
    
     ;. `x/(-144)`=`1/(-9)` এবং  `y/(-36)`=`1/(-9)`
   
      বা,  x=`144/9`              বা,   y=`36/9`
        
          :. x=16                       :. y=4
    
      :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=(16,4)
    
       :. পূর্বের সমাধানের সত্যতা যাচাই হলো ।

ক. দেওয়া আছে,

   `ax+by=ab...(i)`

   `bx+ay=ab...(ii)`

   y অপনীত বা অপসারিত করতে হলে  (i) নং সমীকরণকে  a দ্ধারা এবং

   (ii) নং সমীকরণকে b দ্ধারা গুণ করে বিয়োগ করতে হবে ।   (Ans)

 খ. দেওয়া আছে,
    
     `ax+by=ab`
    
     ` bx+ay=ab`

   সমীকরণদ্বয় থেকে পাই,
    
    `ax+by=bx+ay`
  
     বা,`ax-bx+by-ay=0`
  
     বা,`x(a-b)-y(a-b)=0`
  
    বা,`(x-y)(a-b)=0` [ কিন্তু `a-b!=0` কারণ `a!=b`]
    
     `:. x-y=0`
    
      `:. x=y` [ দেখানো হলো]

 গ. (i)  নং সমীকরণকে a এবং (ii) নং সমীকরণকে  b দ্ধারা গুণ করে পাই,

      `a^x+aby=a^2b...(iii)`
      
     `b^2x+aby=ab^2...(iv)`

(iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই,

     `(a^2x+aby)-(b^2x+aby)=a^2b-ab^2`
     
      বা,`a^2x+aby-b^2x-aby=a^2b-ab^2`
     
      বা,`a^2x-b^2x=a^2b-ab^2`
     
      বা,`x(a^2-b^2)=ab(a-b)`
     
      বা,`x(a+b)(a-b)=ab(a-b)`
     
      বা,x=`ab((a-b))/((a+b)(a-b))`
       
       `:. x=(ab)/(a+b)` [`:. a+b!=0`]

         খ, হতে পাই,`x=y`
          
         `:. y=(ab)/(a+b)`

      `:.` নির্ণেয় সমাধান  `(x,y)=((ab)/(a+b),(ab)/(a+b))`  (Ans)

ক. প্রদত্ত সমীকরণজোট,
    
   `x/2+y/3`=1.................(i)
      
    `x/3+y/2`=1...............(ii)
  
     (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
     
     `(3x+2y)/6`=1
      
       বা,3x+2y=6
     
       :. 3x+2y=6.............(iii)
   
      (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
    
      `(2x+3y)/6`=1
       
        2x+3y=6
    
      :. 2x+3y=6.............(iv) (Ans)


 খ. (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
   
     `x/2 = 1-y/3`
  
      বা`,x/2 = (3-y)/3`
    
      বা,`x=(6-2y)/3..............(iv)`
     
     ` x=(6-2y)/3`  (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
   
      `(6-2y)/(3/3) + y/2=1`
  
      বা` (6-2y)/(3xx1/3) + y/2 = 1` 

      বা,` (6-2y)/9+y/2`=1
    
      বা, `(12-4y+9y)/18`=1 

       বা, 12 + 5y=18
     
       বা,  5y=18-12 

       বা, 5y=6
        
        :. y=`6/5`
     
        y এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই,
       
        x=`6-26/(5/3)` 

       বা, x=`6-12/(5/3)`
        
        x= `(30-12)/(5/3)`
       
        x=`18/(5/3)` 

        বা, x=`18/(5xx1/3)`
      
        `:.  x= 6/5`
    
      :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=`((6/5,6/5))`(Ans)

x=0(i) 0,`a_1+b_1y`=`c_1`

  (ii) 0=`a_2+b_2y`=`c_2`
 
  `b_1y`=`c_1`
  
  `b_2y`=`c_2`/b_1y+b_2y`=`c_1+c_2`
 
   `y(b_1+b_2)`=`c_1=c_2`
 
   :. y=`c_1+c_2/b_1+b_2`(Ans)