ক. সংখ্যাগুলোর মধ্যে সসীম দশমিক সংখ্যা হচ্ছে 1.723, 0.0025

 খ. 1.723,0.0025 সংখ্যাদ্বয় সসীম দশমিক ভগ্নাংশ, কারণ দশমিক,

     ‍বিন্দুর পর অঙ্কের সংখ্যা ‍নির্দিষ্ট।

     2.1356124  সংখ্যাগুলো অসীম দশমিক ভগ্নাংশ, কারণ, দশমিক 

     বিন্দুর ডানদিকে অঙ্কগুলো নয় এবং অঙ্কগুলো পুনরাবৃত্ত হচ্ছে না।

     0.0105105........ 0.41 সংখ্যাগুলো আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ 

     কারণ দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কগুলো বা অংশবিশেষ পুনরাবৃত্ত হচ্ছে।

 গ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো 0.0105105..... 0.41

     এখন, 0.0105105.... = 0.0105 `= (105 - 0)/(9990)`

       `= (105)/(9990) = 7/(666)`

      এবং `0.41 = (41 - 0)/(99) = (41)/(99)`

ক. 2..01243 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 ও আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 3।

    7.5256 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 ও আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2।

     এখানে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি 

     হলো 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 3 ও 2 এর ল.সা,গৃ হলো 6।

     সুতরাং, প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং 

     আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 6।

     2.01243 = 2.01243243

     7.5256 = 7.52565656

     :. আবৃত্ত দশমিকসমৃহ = 2.01243243, 7.52565656 (Ans)


 

 খ. এখানে,    2.01243 = 2.01243243|24

                 7.5256  = 7.52565656|56
               --------------------------------
                             = 9.53808899|80


      :. প্রথম জোড়ার যোগফল = 9.53808899

       ‍দ্বিতীয় জোড়া  ‍2.097 ও 5.12768

      প্রদত্ত সংখ্যাগুলোতে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং 

      আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 3 এর ল.সা,গু 6।

      নিম্নে দশমিক সংখ্যাগুলোকে সদৃশ করে যোগ করা হলো।

      2.097           = 2.09797979|79

      5.12768       = 5.12768768|76
    ---------------------------------------
                         = 7.22566784|55

     :.  দ্বিতীয় জোড়ার যোগফল = 7.22566784 (Ans)

 গ. এখন প্রথম জোড়ার যোগফল = 9.53808899|80

     দ্বিতীয় জোড়ার যোগফল      = 7.22566784|56
                              ---------------------------
                                   = 2.31242151|24    (Ans)

ক. প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ে অনাবৃত্ত অংশের সর্বোচ্চ অঙ্ক সংখ্যা 2 এবং আবৃত্ত 

   অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 3 এর ল.সা,গু 6

   নিচের দশমিক সংখ্যা দুইটিকে সদৃশ করে বিয়োগ করা হলো।

   23.0394     = 23.03949494|94

   9.12645     =  9.12645645 |64
             ------------------------------
                   = 13.91303849 |30


     :. বিয়োগফল = 13.91303849 (Ans)


খ.`1.13 = (113 - 11)/(90)`

           `= (102)/(90)`

           `= (17)/(15)`

     `2.6  = (26)/(10)`

          ` = (13)/5`

  `:. 1.13 xx 2.6 = (17)/(15) xx (13)/5`

                      `= (221)/(75)`

                        = 2.94666....

                        = 2.946

              :. গুণফল = 2.946

 গ. ১ম জোড়ার ‍বিয়োগফল =13.91303849

     ২য় জোড়ার গুণফল    = 2.946

    এখানে, 13.91303849`= (1391303849 - 1391)/(999999)`

                              ` = (1391302458)/(999999)`

      এবং 2.946 `=(2946 - 294)/(900)`

                    `= (2652)/(900)`

     `:. (1391302458)/(999999) -: (2652)/(900)`

      `= (1391302458)/(999999) xx (900)/(2652)`

        = 472.16194 (Ans)

ক. ১ম সংখ্যা   =` 1 = 2 xx 1 - 1`

            ২য় সংখ্যা   =` 3 = 2 xx 2 - 1`

            ৩য় সংখ্যা   =` 5 = 2 xx 3 - 1`

            ৪র্থ সংখ্যা  =` 7 = 2 xx 4 - 1`

           ......................................

           ......................................

          n তম সংখ্যা = `2 xx n - 1 = 2n - 1`

          নির্ণেয় সাধারণ রাশি (2n - 1) যেখানে ` n in NN`

          উত্তর:  (2n - 1)

 খ. ’ক’ হতে পাই, উদ্দীপকে উল্লিখিত সংখ্যাগুলোর সাধারণ রাশি = 2n - 1

     যেখানে `n in NN`

     এখানে প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ বিজোড় সংখ্যা দেখানোর জন্য এটা প্রমাণ 

      করাই যতেষ্ট হবে যে, `(2n - 1)^2` একটি বিজোড় সংখ্যা।

      এখন, `(2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1`

                               = `4n^2 - 4n + 2 - 1`

                               = `2(2n^2 - 2n + 1) - 1`

                               =` 2m - 1 [2n^2 - 2n + 1 = m`ধরে যেখানে `m in NN`]

             m এর যেকোনো মানের জন্য 2m - 1 একটি বিজোড় সংখ্যা।

             সুতরাং প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ সর্বদা বিজোড় সংখ্যা।

   গ. প্রদত্ত সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।

       ধরি, x যেকোন বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

       :. x = 1 হলে, `x^2 = 1^2 = 1` যাকে 8 দ্বারা ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকবে।

       এখন x > 1 হলে, x = 2n + 1 লেখা যায় যেখানে `n in NN`.

          `:. x^2 = (2n + 1)^2`

                    `= 4n^2 + 4n + 1`

                   ` = 4n(n + 1) + 1` 


       এখানে n এবং n + 1 রাশি দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং এদের মধ্যে 

       একটি জোড় সংখ্যা হবেই।

       :. 4n(n + 1) রাশিটি `4 xx 2` বা, 8 দ্বারা বিভাজ্য। ফলে 4n(n + 1) + 1 রাশিটিকে 

        দ্বারা ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকবে।

       অতএব প্রদত্ত যেকোনো সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকবে।

ক. ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো 2, 4, 6, 8ইত্যাদি।

 খ. মনে করি, x যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

     :. 2x হবে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

     এখন 2x, 2x + 2  দুইটি ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা

      তাহলে 2x(2x + 2) = 2.2x(x + 1) = 4x(x + 1)

       যেহেতু x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। তাহলে দুইটি x (x + 1)

       ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা, যেখানে একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। 

       ফলে x(x + 1) একটি জোড় সংখ্যা হবে।

       মনে করি x(x + 1) = 2m যেখানে m স্বাভাবিক সংখ্যা।

       4x(x + 1) `= 4 xx 2m`

        বা 2x(2x + 2) = 8m যা 8 দ্বারা বিভাজ্য

       অতএব, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা গুণফল 8 দ্বারা বিভাজ্য।

 গ. মনে করি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে

     x, x + 1, x + 2, x + 3

     ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে পাওয়া যায়,

     x(x + 1) (x + 2 (x + 3) + 1

     = x(x + 3) (x + 1) (x + 2) + 1

     = `(x^2 + 3x) (x^2 + 3x + 2) + 1`

     = a(a + 2) + 1; `[x^2 + 3x = a]`

     =` a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2`

     = `(x^2 + 3x + 1)^2`  যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার 

     :.চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলে সাথে 1 যোগ করলে যোগফল 

     একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।