ক. ক্যালকুলেটরের মাধ্যমে পাই,

    `sqrt(2)` = 1.414213.........

    প্রথম সংখ্যা = 1.04 = 1.044444........

    দ্বিতীয় সংখ্যা = 5.1302 = 5.1302302........

    সুতরাং `sqrt(2)` সংখ্যাটি ১ম ও ২য় সংখ্যার মাঝে আছে।


 খ. এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1 এবং আবৃত্ত অংশের 

     অঙ্ক হবে 1, 3, 1 এর ল. সা.গু 3

     প্রথমে তিনটি আবৃত্ত দশমিকে সদৃশ করে পাই,

       1.0444

       5.1302

       8.0444
     ------------
      14.2190

             + 1  [এখানে 1 হচ্ছে হাতের ]
  ---------------
     14.2191

  :. সংখ্যা তিনটির গড়  

  =`(14.2191)/3` 

  = `(142191 - 142)/(9990) xx 1/3`

  =` (142049)/(29970)`

  = 4.73970637

  :. তিনটি সংখ্যার গড়  = 4.73970637  (Ans)

 গ. 5.1302 এর বর্গমূল =` sqrt(5.1302)`

     5.1302 = 5.13023023......

     2|5.13023023.......|2.2650

        4
     -----------------
     42|113

            84
     -------------
    446| 2902

            2676
      --------------
      4525|22630

               22625
           -------------
                       5

       অতএব, 5.1302 এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 2.2650

      এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.265

     Ans: 2.2650, 2.265

দেওয়া আছে,

  `x = (sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b))/(sqrt(2a + 3b) - sqrt(2a - 3b))`

  বা, `(x + 1)/(x - 1) = (sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b) + sqrt(2a + 3b) - sqrt(2a - 3b))/(sqrt(2a + 3b) + 

       sqrt(2a - 3b) - sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b))`
      [যোজন-বিয়োজন করে]

  বা, `(x + 1)/(x - 1) = (2sqrt(2a + 3b))/(2sqrt(2a - 3b))`

  বা, `(x + 1)/(x - 1) = (sqrt(2a + 3b)/(sqrt(2a - 3b)`

  বা, `((x + 1)/(x - 1))^2 = (sqrt(2a + 3b)/sqrt(2a - 3b))^2` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

  বা, `(x + 1)^2/(x - 1)^2 = (2a + 3b)/(2a - 3b)`

  বা, `((x + 1)^2 + (x - 1)^2)/((x - 1)^2 - (x - 1)^2) = (2a + 3b + 2a - 3b)/(2a + 3b - 2a + 3b)`
        [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]

  বা, `(2(x^2 + 1))/(4x) = (4a)/(6b)`

  `:. [:. (a + b)^2 + (a - b)^2= 2(a^2 + b^2)` এবং 

  `(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab]`

  বা, `(x^2 + 1)/(2x) = (2a)/(3b)`

  বা, `3b(x^2 + 1) = 4ax` [আড়গুণন করে]

  বা, `3bx^2 + 3b - 4ax = 0`

    `:. 3bx^2 - 4ax + 3b = 0` (দেখানো হলো )