মনে করি,

     `(bz - cy)/a = (cx - az)/b = (ay - bx)/c = k`

       :. bz - cy = ak.......(i)

       :. cx - az = bk.......(ii)
  
       :. ay - bx = ck........(iii)

    এখন  (i) নং (ii) নং এবং (iii) নং সমীকরণকে যথাক্রমে a, b এবং 

    c দ্বারা গুণ করে পাই, 
      
      abz - acy = `a^2k`

      bcx - abz =` b^2k`

      acy - cbx = `c^2k`
 ---------------------------------
     0 =` k(a^2 + b^2 + c^2)` [ যোগ করে ]

  :. k = 0    [:. a, b, c  ধ্রবক হওয়ায় `a^2 + b^2 + c^2 != 0`]

  তাহলে `(bz - cy)/a = 0`  আবার `(cx - az)/b = 0`

         বা, bz - cy = 0            বা,  cx - az = 0

         বা, bz = cy                 বা,  cx = az

   `:. z/c = y/b......(iv)`    `:. x/a = z/c..........(v)`

   (iv) ও (v) নং হতে `x/a = y/b = z/c` (প্রমানিত)


   বিকল্প সমাধান: দেওয়া আছে,

         `(bz - cy)/a = (cx - az)/b = (ay - bx)/c`

        বা,`(abz - cay)/a^2 = (bcx - abz)/b^2 = (cay - bcx)/c^2`

         [প্রত্যেকটি অনুপাতের লব ও হরকে যথাক্রমে a, b, c দ্বারা গুণ করে]

        এখন উপরিউক্ত অনুপাত তিনটির লবের রাশিগুলোর সমষ্টি

       = abz - cay + bcx - abz + cay - bcx = 0

   `:.  (abz - cay)/a^2 = (bcx - abz)/b^2 = (cay - bcx)/c^2 0/(a^2 + b^2 + c^2)`

   [:.অনুপাতের নিয়ম অনুযায়ী `a/b = b/c = c/d = (a + b + c)/(b + c + d)`]

   বা,`(abz - cay)/a^2 = 0`    বা,` (bcx - abz)/b^2 0`  

   বা, `(a(bz - cy))/a^2 = 0`    বা, `(b(cx - az))/b^2 = 0`

   বা, `(bz - cy)/a = 0`           বা,  `(cx - az)/b = 0`

     বা, bz - cy = 0                  বা,  cx = az = 0

     বা, bz = cy                        বা, cx = az

    `:. z/c = y/b .....(i)     :.  x/a = z/c ........(ii)`

   (i) নং ও (ii) হতে  `x/a = y/b = z/c`      (প্রমাণিত)

মনে করি, 

 `x/(b + c) = y/(c + a) = z/(a + b) = k`

 :. x = k (b + c), y = k(c + a), z = k(a + b)

  এখন,     y + z - x = k(c + a) + k(a + b) - k(b + c)

                       = k(c + a + a + b - b - c) = 2ak

  :. `a/(y + z - x) = a/(2ak) = 1/(2k)`

  আবার, z + x - y = k(a + b) + k(b + c) - k(c + a)

                     = k(a + b + b + c - c - a)

                     = 2bk

  :. `b/(z + x - y) = b/(2bk) = 1/(2k)`

  আবার,  x + y - z = k(b + c) + k(c + a) - k(a + b)

                       = k(b + c + c + a - a - b)

                       = 2ck

 `:. c/(x + y - z) = c/(2ck) = 1/(2k)`

  যেহেতু,   `a/(y + z - x), b/(z + x - y),`এবং `c/(x + y - z)`

  প্রত্যেকটি অনুপাত `1/(2k)` এর সমান।

  `:. a/(y + z - x) = b/(z + x - y) = c/(x + y - z)`

দেওয়া আছে,

   `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (a + b)^2/(b + c)^2`

    বা, `(b + c)^2/(b^2 + c^2) = (a + b)^2/(a^2 + b^2)` [একান্তরকরণ করে]

    বা,`(b^2 + c^2 + 2bc)/(b^2 + c^2) = (a^2 + b^2 + 2ab)/(a^2 + b^2)`

    বা, `(b^2 + c^2 + 2bc - b^2 - c^2)/(b^2 + c^2) = (a^2 + b^2 + 2ab - a^2 - b^2)/(a^2 + b^2)`
           [যোজন-বিয়োজন করে]

    বা,`(2bc)/(b^2 + c^2) = (2ab)/(a^2 + b^2)`

    বা, `c/(b^2 + c^2) = a/(a^2 + b^2)` [উভয় পক্ষকে 2b দ্বারা ভাগ করে]

    বা, `ab^2 + ac^2 = a^2c + b^2c`

    বা, `ac^2 - a^2c = b^2c - ab^2`

    বা, `ac (c - a) = b^2 (c - a)`

    বা, `ac = b^2`

    বা, `(ac)/(bc) = (b^2)/(bc)` [উভয়পক্ষকে bc দ্বারা ভাগ করে]

    বা, `a/b = b/c`

    :.  a : b = b : c

    :. a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী।

দেওয়া আছে, 

 `(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)` ` a + b + c != 0`

   বা, `(a + b - c - a - b)/(a + b) = (b + c - a - b - c)/(b + c) = (c + a - b - c - a)/(c + a)`
        [বিয়োজন করে]

   বা, `(-c)/(a + b) = (- a)/(b + c) = (- b)/(c + a)`

   বা, `c/(a + b) = a/(b + c) = b/(c + a)` [(-) দ্বারা গুণ করে]

   বা, `(a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b` [ব্যস্তকরণ করে]

   বা, `(a + b + c)/c = (b + c + a)/a = (c + a + b)/b` [যোজন করে]

   বা, `1/c = 1/a = 1/b`

        [(a + b + c) দ্বারা ভাগ করে যেখানে `a + b + c != 0`]

    বা, c = a = b [ব্যস্তকরণ]

    :. a = b = c (প্রমাণিত)

মনে করি, 

  `x/(xa + yb + zc) = y(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc) = k`

   :. x = k(xa + yb + zc).........(i)

   y = k(ya + zb + xc).............(ii)

   z = k(za + xb + yc).............(iii)

   (i) নং (ii) নং এবং (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

   x + y + z = k(xa + ya + za + yb + zb + xb + zc + xc + yc)

   বা, x + y + z = k{x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c)}

   বা, x + y + z = k(a + b + c) (x + y + z) 

   বা, (x + y + z) - k(a + b + c) (x + y + z) = 0

   বা, (x + y + z) {(1 - k(a + b + c)} = 0

   :. 1 - k(a + b + c) = 0  [:. `x + y + z != 0` ]

    বা, 1 = k(a + b + c)

    `:. k = 1/(a + b + c)`

  :. প্রতিটি অনুপাতের মান` = 1/(a + b + c)` (দেখানো হলো )

   
   বিকল্প সমাধান: দেওয়া আছে,

  `x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)`

    অনুপাতের ধর্ম হতে আমরা জানি,

   `a/b = b/c = c/d` ` a/b = c/b = c/d = c/d = (a + b + c)/(b + c + d)`

    :. প্রদত্ত অনুপাত তিনটির প্রত্যেকটি নিমোক্ত অনুপাতের সমান হবে,

   `(x + y + z)/(xa + yb + zc + ya + zb + xc + za + xb + yc)`
                     [লব ও হরের রাশিগুলোকে যোগ করে]

   `= (x + y + z)/(xa + xb + xc + ya + yb + yc + za + zb + zc)`

   `= (x + y + z)/(x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c))`

   `= (x + y + z)/((x + y + z) (a + b + c))`

   `= 1/(a + b + c)` (দেখানো হলো)