গণিত - নবম-দশম শ্রেণি

গণিত - নবম-দশম শ্রেণি

Question:`x = sqrt(5) + sqrt(3)`

 ক. `1/x` এর মান কত?

 খ. `x^3 + 1/x^3` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `4(x^2 - 1/x^2)`  এর মান `x^3 + 1/x^3`

         এর মানের চেয়ে বড়। 
Answerক. দেওয়া আছে, `x = sqrt(5) + sqrt(3)`

    বা, `1/x = 1/(sqrt(5) + sqrt(3))`  [ব্যস্তকরণ করে]

    `= (1 (sqrt(5) - sqrt(3)))/((sqrt(5) + sqrt(3)) (sqrt(5) - sqrt(3))`

                            [লব ও হরকে `sqrt(5) - sqrt(3)` দ্বারা গুণ করে ]

    `= (sqrt(5) - sqrt(3))/(sqrt(5))^2 - (sqrt(3))^2 = (sqrt(5) - sqrt(3))/(5 - 3)`

    `= (sqrt(5) - sqrt(3))/2`  (Ans)

  খ. `x + 1/x = sqrt(5) + sqrt(3) + (sqrt(5) - sqrt(3))/2`

       `= (2sqrt(5) + 2sqrt(3) + sqrt(5) - sqrt(3))/2`

       `= (3sqrt(5) + sqrt(3))/2`

   এখন, `x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x (x + 1/x)`

              `= (x + 1/x)^3 - 3(x + 1/x)`

              `= ((3sqrt(5) + sqrt(3)/2)^3 - 3((3sqrt(5) + sqrt(3))/2)`

              `= (4.22)^3 - 3 xx 4.22`  [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

              `= 75.151 - 12.66`

              `= 62.491`   (Ans)

   গ.   `x + 1/x = (3sqrt(5) + sqrt(3))/2`  [’খ’ হতে পাই,]

      এবং  `x - 1/x = sqrt(5) + sqrt(3) - ((sqrt(5) - sqrt(3))/2)`

        `= (2sqrt(5) + 2sqrt(3) - sqrt(5) + sqrt(3))/2 = (sqrt(5) + 3sqrt(3))/2`

      `:. 4(x^2 - 1/x^2) = 4(x + 1/x) (x - 1/x)`

                                    `= 4. ((3sqrt(5) + sqrt(3))/2) ((sqrt(5) + 3sqrt(3))/2)`

                                    `= (3sqrt(5) + sqrt(3)) (sqrt(5) + 3sqrt(3))`

                                     `= 15 + sqrt(15) + 9sqrt(15) + 9`

                                     `= 24 + 10sqrt(15)`

                                     `= 24 + 10(3.873)`

                                     `= 24 + 38.73`    [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

                                       = 62.73

        `:. 4(x^2 - 1/x^2)` এর মান  `x^3 + 1/x^3` এর চেয়ে বড়।

Report

Question:`x + 1/x = 2sqrt(2)`

  ক. `x^2 + 1/x^2` এর মান নির্ণয় কর।

  খ. `x^4 + 1/x^4` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `x^3 + 1/x^3 = 10sqrt(2)` 
Answerক. দেওয়া আছে, `x + 1/x = 2sqrt(2)`

 `:. x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`

                        `= (2sqrt(2))^2 - 2 = 4.2 - 2 = 8 - 2`

                        `= 6` (Ans)

  খ. এখন, `x^4 + 1/x^4 = (x^2)^2 + (1/x^2)^2`

                           `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2.x^2. 1/x^2`

                          `= {(x + 1/x)^2 - 2.x.1/x}^2 - 2`

                          `= {(2sqrt(2))^2 - 2}^2 - 2`

                          `= (8 - 2)^2 - 2`

                          `= 6^2 - 2 = 36 - 2`

                          `= 34`  (Ans)

 গ. বামপক্ষ`= x^3 + 1/x^3`

         `= (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x. (x + 1/x)`

         `= (2sqrt(2))^3 - 3(2sqrt(2))`

         `= 2^3.(sqrt(2))^3 - 6sqrt(2)`

         `= 8.2sqrt(2) - 6sqrt(2)`

         `= 16sqrt(2) - 6sqrt(2)`

         `= 10sqrt(2)`

          = ডানপক্ষ

        :.` x^3 + 1/x^3 = 10sqrt(2)`  (দেখানো হলো)

Report

Question:`a + b = sqrt(7)` এবং `a - b = sqrt(5)` হলে

  ক. `a^2 + b^2` এর মান কত?

  খ. প্রমাণ কর যে, `8ab(a^2 + b^2) = 24`

  গ. `(a - b)^3 + (a + b)^3 + 6a(a^2 - b^2)` এর মান নির্ণয় কর। 
Answerক. দেওয়া আছে, `a + b = sqrt(7), a - b = sqrt(5)`

 আমরা জানি,`2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2`

                                   `= (sqrt(7))^2 + (sqrt(5))^2`

                                   `= 7 + 5 = 12`

       `:. a^2 + b^2 = 6`   (Ans)

 খ. `a^2 + b^2 = 6`  [(ক) হতে পাই]

     এখন, `8ab(a^2 + b^2) = 4ab.2(a^2 + b^2)`

                                    `= {(a + b)^2 - (a - b)^2} 2.6`

                                   `= {(sqrt(7))^2 - (sqrt(5))^2}.12`

                                   `= (7 - 5).12 = 24`

                              `:. 8ab (a^2 + b^2) = 24`

  গ. দেওয়া আছে,

     `a + b = sqrt(7)`............(i)

      `a - b = sqrt(5)`.............(ii)

    `:. (a + b) (a - b) = sqrt(7) xx sqrt(5)`

      বা, `a^2 - b^2 = sqrt(35)`

     সমীকরণ  (i) ও  (ii) যোগ করে পাই,

    `a + b + a - b = sqrt(7) + sqrt(5)`

     বা, `2a = sqrt(7) + sqrt(5)`

    `:. a = (sqrt(7) + sqrt(5))/2`

   এখন, `(a - b)^3 + (a + b)^3 + 6a(a^2 - b^2)`

     `= (sqrt(5))^3 + (sqrt(7))^3 + 6((sqrt(7) + sqrt(5))/2) (sqrt(35))`

     `= 5sqrt(5) + 7sqrt(7) + 3sqrt(245) + 3sqrt(175)`

     `= 5sqrt(5) + 7sqrt(7) + 21sqrt(5) + 15sqrt(7)`

     `= 22sqrt(7) + 26sqrt(5)`   (Ans)

Report

Question:`x^2 = 5 + 2sqrt(6)`

 ক. x এর মান নির্ণয় কর।

 খ. `x^2 + 1/x^2` এর মান কত?

 গ. `(x^6 + 1)/x^3 = 18sqrt(3)` প্রমাণ কর। 
Answerক. দেওয়া আছে, 
    `x^2 = 5 + 2sqrt(6)`

       `= 3 + 2sqrt(3) xx 2 + 2`

       `= (sqrt(3))^2 + 2.sqrt(3).sqrt(2) + (sqrt(2))^2`

       `= (sqrt(3) + sqrt(2))^2`

       `:. x = sqrt(3) + sqrt(2)`

 খ. ’ক’ হতে পাই,

  `x = sqrt(3) + sqrt(2)`

 `:. 1/x = 1/(sqrt(3) + sqrt(2)`

       `= (1 (sqrt(3) - sqrt(2)))/((sqrt(3) + sqrt(2)) (sqrt(3) - sqrt(2))`

       `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(sqrt(3))^2 - (sqrt(2))^2`

       `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(3 - 2)`

       `= sqrt(3) - sqrt(2)`

   `:. x + 1/x = sqrt(3) + sqrt(2) + sqrt(3) - sqrt(2) = 2sqrt(3)`

  প্রদত্ত রাশি
    `= x^2 + 1/x^2`

    `= (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`

    `= (2sqrt(3)^2 - 2`

    `= 4.3 - 2`

      = 12 - 2

      = 10    (Ans)

  গ. ‘খ’ থেকে পাই, 

   বামপক্ষ, 
   `x + 1/x = 2sqrt(3)`

      `= (x^6 + 1)/x^3`

      `= x^6/x^3 + 1/x^3`

      `= x^3 + 1/x^3`

      `= (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x (x + 1/x)`

      `= (2sqrt(3))^3 - 3.2sqrt(3)`

      `= 8.3sqrt(3) - 6sqrt(3)`

      `= 24sqrt(3) - 6sqrt(3)`

      `= 18sqrt(3)`

        = ডানপক্ষ

  `:. (x^6 + 1)/x^3 = 18sqrt(3)`

Report

Question:যদি `x = 3 + 2sqrt(2)` হয় তবে

  ক. `1/x` এর মান কত?

  খ. `x^(3/2) - 1/x^(3/2)` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. প্রমাণ কর যে, `x^4 + 1/x^4 = 1154` 
Answerক.  দেওয়া আছে,

     `x = 3 + 2sqrt(2)`

   `:. 1/x = 1/(3 + 2sqrt(3))`

     `= (3 - 2sqrt(2))/(3 + 2sqrt(2)) (3 - 2sqrt(2))`

     `= (3 - 2sqrt(2))/(9 - 8)`

     `= 3 - 2sqrt(2)`

    `:. 1/x = 3 - 2sqrt(2)`  (Ans)

  খ. দেওয়া আছে, 

            `x = 3 + 2sqrt(2)`

            বা, `x = 2 + 2sqrt(2) + 1`

            বা, `x = (sqrt(2))^2 + 2.sqrt(2.1) + (1)^2`

            বা, `x = (sqrt(2 + 1))^2`

            :. `sqrt(x) = sqrt(2 + 1)............`(i)

    এখন, `1/sqrt(x) = 1/(sqrt(2 + 1)`

           `= (sqrt(2 - 1))/((sqrt(2 + 1)) (sqrt(2 - 1))`

           `= (sqrt(2 - 1))/(2 - 1)`

          `:. 1/sqrt(x) = sqrt(2 - 1)`..............(ii)

 এখন, `x^(3/2) - x^((1/3)/2)`

        `= (sqrt(x))^3 - (1/sqrt(x))^3`

        `= (sqrt(x - 1)/sqrt(x))^3 + 3.sqrt(x) . 1/sqrt(x) (sqrt(x) - 1/sqrt(x))`

        `= (sqrt(2 + 1 - sqrt(2 + 1))^3 + 3(sqrt(2 + 1 - sqrt(2 + 1))`

        `= (2)^3 + 3(2)`

        `= 8 + 6`

          = 14  (Ans)

  গ. দেওয়া আছে,

     ’ক’ থেকে পাই,  `x = 3 + 2sqrt(2)`

         `1/x = 3 - 2sqrt(2)`

    বামপক্ষ 
     `= x^4 + 1/x^4`

     `=  (x^2)^2 + (1/x^2)^2`

     `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2.x^2.1/x^2`

     `= {(x + 1/x)^2 - 2.x. 1/x}^2 - 2`

     `= {(3 + 2sqrt(2 )+ 3 - 2sqrt(2))^2 - 2}^2 - 2` [x ও `1/x` এর মান বসিয়ে]

     `= {(6)^2 - 2}^2 - 2`

     `= (36 - 2)^2 - 2`

     `= (34)^2 - 2`

     `= 1156 - 2`

     `= 1154`

       = ডানপক্ষ

 `:. x^4 + 1/x^4 = 1154` (প্রমাণিত)

Report

First Prev 62 63 64 65 66 Next Last

Question:`x = sqrt(5) + sqrt(3)` ক. `1/x` এর মান কত? খ. `x^3 + 1/x^3` এর মান নির্ণয় কর। গ. দেখাও যে, `4(x^2 - 1/x^2)` এর মান `x^3 + 1/x^3` এর মানের চেয়ে বড়।

Question:`x + 1/x = 2sqrt(2)` ক. `x^2 + 1/x^2` এর মান নির্ণয় কর। খ. `x^4 + 1/x^4` এর মান নির্ণয় কর। গ. দেখাও যে, `x^3 + 1/x^3 = 10sqrt(2)`

Question:`a + b = sqrt(7)` এবং `a - b = sqrt(5)` হলে ক. `a^2 + b^2` এর মান কত? খ. প্রমাণ কর যে, `8ab(a^2 + b^2) = 24` গ. `(a - b)^3 + (a + b)^3 + 6a(a^2 - b^2)` এর মান নির্ণয় কর।

Question:`x^2 = 5 + 2sqrt(6)` ক. x এর মান নির্ণয় কর। খ. `x^2 + 1/x^2` এর মান কত? গ. `(x^6 + 1)/x^3 = 18sqrt(3)` প্রমাণ কর।

Question:যদি `x = 3 + 2sqrt(2)` হয় তবে ক. `1/x` এর মান কত? খ. `x^(3/2) - 1/x^(3/2)` এর মান নির্ণয় কর। গ. প্রমাণ কর যে, `x^4 + 1/x^4 = 1154`