দেওয়া আছে, 
 
  `2x - 2/x = 3`

   বা, `2(x - 1/x) = 3`

   বা, `x - 1/x = 3/2`.........(i)

   বা, `(x - 1/x)^3 = (3/2)^3`  [উভয় পক্ষকে ঘন করে]

   বা, `x^3 - 1/x^3 - 3.x.1/x (x - 1/x) = (27)/8`

   বা, `x^3 - 1/x^3 - 3.3/2 = (27)/8`   [(i) হতে ]

   বা, `x^3 - 1/x^3 = (27)/8 + 9/2`

   বা, `x^3 - 1/x^3 = (27 + 36)/8`

    বা, `x^3 - 1/x^3 = (63)/8`

  `:. 8(x^3 - 1/x^3) = 63`  (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, 

  ` a = sqrt(6) + sqrt(5)`

 `:. 1/a = 1/(sqrt(6) + sqrt(5))`  [ব্যস্তকরণ করে]

 `= (sqrt(6) - sqrt(5))/((sqrt(6) + sqrt(5)) (sqrt(6) - sqrt(5)))`

                                    [লব ও হরকে `sqrt(6) - sqrt(5)` দ্বারা গুণ করে]

  `= (sqrt(6) - sqrt(5))/((sqrt(6))^2 - (sqrt(5)^2))`

  `= (sqrt(6) - sqrt(5))/(6 - 5)`

  `= sqrt(6) - sqrt(5)`

  :. `a - 1/a = sqrt(6) + sqrt(5) - (sqrt(6) - sqrt(5))`

                  `= sqrt(6) + sqrt(5) - sqrt(6) + sqrt(5)`

                  `= 2sqrt(5)`

    প্রদত্ত রাশি, `= (a^6 - 1)/a^3`

                 `= a^6/a^3 - 1/a^3`

                `= a^3 - 1/a^3`

                `= (a - 1/a)^3 + 3a.1/a (a - 1/a)`  [সূত্র প্রয়োগ করে]

                `= (a - 1/a)^3 + 3(a - 1/a)`

                `= (2sqrt(5))^3 + 3. 2sqrt(5)`

               `= 8. 5sqrt(5) + 6sqrt(5)`

               `= 40sqrt(5) + 6sqrt(5)`

               `= 46sqrt(5)`   (Ans)

ক. দেওয়া আছে, 

       x + y = 3 এবং xy = 2

    আমরা জানি, `(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy`

           `= (3)^2 - 4.2`  [মান বসিয়ে]

             = 9 - 8

      বা, `(x - y)^2 = 1`

     :.` x - y = +- 1`  (Ans)


 খ. দেওয়া আছে, 

           x + y = 3 এবং xy = 2

     ‘ক’ হতে পাই, `x - y = +- 1`

  প্রমাণ করতে হবে যে, `x^4 + y^4 = 17`

               বামপক্ষ  =` x^4 + y^4`

                         = `(x^2)^2 + (y^2)^2`

                         = `(x^2 - y^2)^2 + 2x^2y^2`

                         =` {(x + y) (x - y)}^2 + 2(xy)^2`

                         =` {3. (+- 1)}^2 + 2.(2)^2` [মান বসিয়ে]

                        =` 9 + 8 `

                       = 17

                       = ডানপক্ষ

                 `:. x^4 + y^4 = 17`   (প্রমাণিত)

ক. দেওয়া আছে, x + y = 3, xy = 2 তাহলে,

    আমরা জানি, `(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy`

                          `= (3)^2 - 4.2`  [মান বসিয়ে]

                         `= 9 - 8 = 1`

              অতএব, x - y = 1   (Ans)


 খ. দেওয়া আছে, x + y = 3, xy = 2  তাহলে,

   প্রদত্ত রাশি, `= (x^3 + y^3) + 4(x^2 + y^2)`

                 `= (x + y)^3 - 3xy (x + y) + 4{(x + y)^2 - 2xy}`

                 `= (3)^3 - 3.2.3 + 4{(3)^2 - 2.2}` [মান বসিয়ে]

                `= 27 - 18 + 4(9 - 4)`

                  = 9 + 4.5

                  = 9 + 20

                 = 29   (Ans)

  গ.  দেওয়াে আছে, x + y = 3, xy = 2

       আমরা পাই, `x^8 + y^8`

                  `= (x^4)^2 + (y^4)^2`

                  `= (x^4 + y^4)^2 - 2.x^4.y^4`

                  `= {(x^2)^2 + (y^2)^2}^2 - 2x^4y^4`

                  `= {(x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2}^2 - 2(xy)^4`

                  `= [{(x + y)^2 - 2xy}^2 - 2(xy)^2]^2 - 2(xy)^4`

                 `= [{(3)^2 - 2.2}^2 - 2(2)^2]^2 - 2(2)^4`  [মান বসিয়ে]

                 `= [{9 - 4}^2 - 2.4]^2 - 2.16`

                `= [{5}^2 - 8]^2 - 32`

                `= [25 - 8]^2 - 32`

                `= [17]^2 - 32`

                `= 289 - 32`

                  = 257

         :.` x^8 + y^8 = 257` (প্রমাণিত)

ক. দেওয়া আছে, 

          `2^(y + 1/y + 1) = 32`

        বা, `2^(y + 1/y + 1) = 2^5`

        বা,  `y + 1/y + 1 = 5`

        বা,  `y + 1/y = 5 - 1`

        `:. y + 1/y = 4`  (Ans)

 খ. ‘ক’ হতে পাই, ` y + 1/y = 4`

   বামপক্ষ = `(y^6 + 1)/y^3 = 52`

           `= (y^6 + 1)/y^3`

           `= y^6/y^3 + 1/y^3`

           `= y^3 + 1/y^3`

           `= (y + 1/y)^3 - 3.y.1/y (y + 1/y)`

           `= (4)^3 - 3.4 [:. y + 1/y = 4]`

           `= 64 - 12 = 52`

             =  ডানপক্ষ

        `:. (y^6 + 1)/y^3 = 52` (দেখানো হলো)


 গ. ‘ক’ হতে পাই, `y + 1/y = 4`

     প্রমাণ করতে হবে, `1/y^4 = 194 - y^4`

                       বা, `y + 1/y = 4`

                       বা, `(y + 1/y)^2 = (4)^2`  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

                       বা, `y^2 + 2.y. 1/y + (1/y)^2 = 16`

                       বা, `y^2 + 1/y^2 = 16 - 2`

                       বা, `y^2 + 1/y^2 = 14`

                       বা, `(y^2 + 1/y^2)^2 = (14)^2`  [পুনরায় উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

                       বা, `(y^2)^2 + 2.y^2. 1/y^2 + (1/y^2)^2 = 196`

                       বা, `y^2 + 2 + 1/y^4 = 196`

                        বা, `y^4 + 1/y^4 = 196 - 2`

                        বা, `y^2 + 1/y^4 = 194`

                 :. `1/y^4 = 194 - y^4`   (প্রমাণিত হলো)