সমাধান: `7`বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল `5 : 2`

  `:.` ধরি, `7` বছর পূর্বে  পিতার বয়স ছিল `5x` বছর।

   `:.` এবং `7` বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল `2x` বছর

   `:.` বর্তমানে পিতার বয়স `= (5x + 7 )` বছর

   এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স `= ( 2x + 7)` বছর

     প্রশ্নমতে, `5x + 7 + 2x + 7 = 70`

      বা, `7x + 14 = 70`

      বা, `7x = 70 - 14`

       বা, ` 7x = 56`

       বা, `x = (56)/7`

        `:.  x = 8`

  `:. 5` বছর পরে পিতার বয়স হবে `= (5x + 7 + 5)` বছর

                                        `= (5x + 12)`বছর

                                        `= (5 xx 8 + 12)`বছর

                                        `= (40 + 12)`বছর

                                        `= 52`বছর

  এবং `5` বছর পরে পুত্রের বয়স হবে`= (2x + 7 + 5)` বছর

                                       `= (2x + 12)`বছর

                                       `= (2 xx 8 + 12)`বছর

                                       `= (16 + 12)`বছর

                                       `= 28`বছর

 `:. 5`বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত `= 52 : 28`
                                              `= 13 : 7`

         Ans. `13 : 7`

সমাধান:
(i).ধরি, `a/b = b/c = k`

`:. b = ck`

`a = bk = ck.k = ck^2`

বামপক্ষ 
`= a/c`

`= (ck^2)/c`
 
`= k^2`

ডানপক্ষ 

`= (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

`= ((ck^2)^2 + (ck)^2)/((ck)^2 + c^2)`

`= (c^2k^4 + c^2k^2)/(c^2k^2 + c^2)`

`= (c^2k^2(k^2 + 1))/(c^2(k^2 + 1))`

`=k^2`

`:. a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` ( প্রমাণিত )বিকল্প সমাধান:
দেওয়া আছে, 

`a : b = b : c`

বা,`a/b = b/c`

বা, `a^2/b^2 = b^2/c^2`   [  উভয়পক্ষকে বর্গ করে  ]

বা, `(a^2 + b^2)/b^2 = (b^2 + c^2)/c^2`  [  যোজন করে  ]

বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = b^2/c^2`  [  একান্তরকরণ করে  ]

বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (ac)/c^2`    [  `:. a/b = b/c :. ac = b^2`  ]

বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = a/c`

`:. a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` ( প্রমাণিত )
(ii).দেওয়া আছে, 

`a : b = b : c` 

বা, `a/b = b/c`

`:. b^2 = ac`

বামপক্ষ 

`= a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`

`= (a^2b^2c^2)/a^3 + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3`

`= (b^2c^2)/a + (a^2c^2)/b + (a^2b^2)/c`

`= (b^2c^2)/a +((ac)^2)/b + (a^2b^2)/c`

`= (ac.c^2)/a + ((b^2)^2)/b + (a^2 .ac)/c`  [  `:.`মান বসিয়ে  ]

`= c^3 + b^4/b + a^3`

`= c^3 + b^3 + a^3`

`= a^3 + b^3 + c^3`

 `=`ডানপক্ষ 

 `:. a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3`( প্রমাণিত )


(iii).দেওয়া আছে, 

`a : b = b : c` 

অর্থাৎ, `a/b = b/c`

মনে করি, 

`a/b = b/c = k`

`:. b=ck` এবং 

`a=bk=ck.k=ck^2`

বামপক্ষ 

`= (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3)`

`= (ck^2 xx ck xx c(ck^2 + ck + c)^3)/((ck^2 xx ck + ck xx c + c xx ck^2)^3)`

`= (c^3k^3{c(k^2 + k + 1)}^3)/((c^2k^3 + c^2k + c^2k^2)^3)`

`= (c^3k^3 xx c^3(k^2 + k + 1)^3)/({c^2k(k^2 + 1 + k)}^3)`

`= (c^6 k^3(k^2 + k +1)^3)/(c^6k^3(k^2 + k + 1)^3)`

`= 1`

`=`ডানপক্ষ

`:. (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1`   ( প্রমাণিত )


(iv).দেওয়া আছে, 

`a : b = b : c` 

অর্থাৎ, `a/b = b/c`

মনে করি, `a/b = b/c = k`

 `:. b = ck`

` a = bk = ck.k = ck^2`

প্রথম রাশি 

`= a - 2b + c`

`= ck^2 - 2ck + c`

`= c(k^2 - 2k + 1)`

`= c {(k)^2 - 2 xx k xx 1 + (1)^2}`

`= c(k - 1)^2`

দ্বিতীয় রাশি 

`= ((a - b)^2)/a`

`= ((ck^2 - ck)^2)/(ck^2)`

`=({ck(k - 1)}^2)/(ck^2)`

`= (c^2k^2(k - 1)^2)/(ck^2)`

`= c((k - 1)^2`

তৃতীয় রাশি 

`= ((b - c)^2)/c`

`= ((ck - c)^2)/c`

`= ({c(k - 1)}^2)/c`

`= (c^2(k - 1)^2)/c`

`= c(k - 1)^2`

`:. a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c`   ( প্রমাণিত )

সমাধান:   (ii).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` 

          বা, `a/b = b/c`

            `:. b^2 = ac`

বামপক্ষ `= a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`

         `= (a^2b^2c^2)/a^3 + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3`

         `= (b^2c^2)/a + (a^2c^2)/b + (a^2b^2)/c`

         `= (b^2c^2)/a +((ac)^2)/b + (a^2b^2)/c`

         `= (ac.c^2)/a + ((b^2)^2)/b + (a^2 .ac)/c`  [  `:.`মান বসিয়ে  ]

         `= c^3 + b^4/b + a^3`

         `= c^3 + b^3 + a^3`

         `= a^3 + b^3 + c^3`

         `=`ডানপক্ষ 

 `:. a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3`( প্রমাণিত )

সমাধান:   (iii).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` অর্থাৎ, `a/b = b/c`

 মনে করি, `a/b = b/c = k`

    `:. b=ck` এবং `a=bk=ck.k=ck^2`

 বামপক্ষ 
   `= (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3)`

   `= (ck^2 xx ck xx c(ck^2 + ck + c)^3)/((ck^2 xx ck + ck xx c + c xx ck^2)^3)`

   `= (c^3k^3{c(k^2 + k + 1)}^3)/((c^2k^3 + c^2k + c^2k^2)^3)`

   `= (c^3k^3 xx c^3(k^2 + k + 1)^3)/({c^2k(k^2 + 1 + k)}^3)`

   `= (c^6 k^3(k^2 + k +1)^3)/(c^6k^3(k^2 + k + 1)^3)`

   `= 1`

   `=`ডানপক্ষ

  `:. (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1`   ( প্রমাণিত )

সমাধান:(iv).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` অর্থাৎ, `a/b = b/c`

              মনে করি, `a/b = b/c = k`

                   `:. b = ck`

                ` a = bk = ck.k = ck^2`

 প্রথম রাশি 
     `= a - 2b + c`

     `= ck^2 - 2ck + c`

     `= c(k^2 - 2k + 1)`

     `= c {(k)^2 - 2 xx k xx 1 + (1)^2}`

     `= c(k - 1)^2`

 দ্বিতীয় রাশি 
      `= ((a - b)^2)/a`

      `= ((ck^2 - ck)^2)/(ck^2)`

      `=({ck(k - 1)}^2)/(ck^2)`

      `= (c^2k^2(k - 1)^2)/(ck^2)`

      `= c((k - 1)^2`

 তৃতীয় রাশি 
    `= ((b - c)^2)/c`

    `= ((ck - c)^2)/c`

    `= ({c(k - 1)}^2)/c`

    `= (c^2(k - 1)^2)/c`

    `= c(k - 1)^2`

  `:. a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c`   ( প্রমাণিত )