সমাধান দেওয়া আছে,  x+2y=0................(i)
                              
                       2x-3y=0................(ii)

     সমীকরণদ্ধয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
                  x+2y-7=0
                 
                  2x-3y+0=0

   এখন,উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
   
    `x/(2xx0-(-3)xx(-7))=y/(2xx(-7)-1xx0)`

    `=1/(1xx(-3)-2xx2)`
 
     বা, `x/(0-21)=y/(-14-0)=1/(-3-4)`
  
     বা, `x/-21=y/-14=1/-7`
     
     `:.x/-21=1/-7`
  
      বা, `x=-21/-7=3` এবং `y/-14=1/-7`
   
      বা, `y=-14/-7=2`
  
    :. নির্ণেয় সমাধান :(x,y)=(3,2)

সমাধান:প্রদত্ত সমীকরণদ্ধয়

        4x+3y=-1..................(i)
            
        2x=5...................(ii)

        সমীকরণদ্ধয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
           
        4x+3y+12=0
            
        2x+0y-5=0

        উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
       
       `x/(3xx(-5)-0xx12)=y/(12xx2-4xx(-5))=1/(4xx0-2xx3)`
    
        বা, `x/(-15-0)=y/(24+20)=1/(0-6)`
   
        বা,`x/-15=y/44=1/-6`
   
      `:.x/-15=1/-6 `এবং  `y/44=1/-6`
  
       বা, `x=-15/-6`  বা, ` y=44/-6`
     
       `:. x=5/2  :.  y=-22/3`
 
    :.  নির্ণেয় সমাধান: `(x,y)=((5/2,-22/3))`

ক. ধারাটির প্রথম পদ`a=8`

 সাধারন অন্তর `d=11-8=3`হলে,

 আমরা জানি, n তম পদ `=a+(n-1)d`

 `=8+(n-1)3`

 `=8+3n-3`

 `=5+3n`Ans.খ. ’ক’ থেকে পাই, ১ম পদ  `a=8`, সাধারন অন্তর `d=3`

 এখানে পদসংখ্যা `n=10`
  
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম  `n`সংখ্যক পদের সমষ্টি

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
 
 তাহলে,প্রথম`10` টি পদের সমষ্টি,

 `s_10=10/2{2.8+(10-1)3}`

 `=5{16+9 xx 3}`

 `=5(16+27)`

 `=5 xx 43`

 `=215`Ans.গ. ’খ’ থেকে পাই, ১ম পদ`a=215`

 এখন সাধারন অন্তর `d=9` হলে নতুন ধারাটি হলো

 `215+224+233+..........`
  
 আমরা জানি ,

 সমান্তর ধারার `n-`তম পদ  `=a+(n-1)d`

 `:.` ধারাটির ৭ম পদ বের করার জন্য `n=7` বসিয়ে পাই,

 ধারাটির  ৭ম পদ`=215+(7-1)9`

 `=215+6 xx 9`

 `=215+54`

 `=269`Ans.

ক. ধারাটির প্রথম পদ `A=29`  সাধারন অন্তর, `D=25-29= -4` হলে,
 
 ধারাটির `n` তম পদ  `=a+(n-1)d`

 `=29+(n-1)(-4)`

 `=29-4n+4`

 `=33-4n`

 ক থেকে পাই `n` তম পদ   `=33-4n`

 এখানে `n` তম পদ `-23` হলে, `33-4n=-23`
  
 বা,`-4n=-23-33`
  
 বা,`-4n=-56`
 
 বা,`-n=-14`

 `:.`  `n=14`

 আবার প্রথম `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.`  প্রথম `14`টি  পদের সমষ্টি `s_14=14/2{2 xx 29+(14-1)(-4)}`

 `=7{58+13(-4)}`

 `=7(58-52)`

 `=7 xx 6`

 `=42` Ans.গ. ’খ’ থেকে পাই `n=14`

 `:.`ধারাটির `2n` সংখ্যক পদের সমষ্টি,

 `s_(2n) =(2n)/2{2a+(2n-1)d}`

  অতএব, `s_28=28/2{2 xx 29+(28-1)(-4)}`

 `=14{58+27(-4)}`

 `=14{58-108}`

 `=14(-50)`

 `=-700` Ans.

সমাধান: দেওয়া আছে, -7x+8y=9................(i)
                          
          5x-4y=-3................(ii)
   
       (i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে পক্ষান্তর করে পাই,
                  
         -7x+8y-9=0
                    
         5x-4y+3=0
 
       এখন, উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
    
      `x/(8xx3-(-4)xx(-9))=y/((-9)xx5-3xx(-7))`

       `=1/((-7)xx(-4)-5xx8)`

       বা,  `x/(24-36)=y/(-45+21)=1/(28-40)`
  
       বা, `x/-12=y/-24=1/-12`
    
      `:.x/-12=1/-12`  বা, `x=-12/-12=1` এবং `y/-24=1/-12` 

       বা, `y=-24/-12=2`

       
      :. নির্ণেয় সমাধান :(x,y)=(1,2)