ক. মনেকরি,সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ`=a`

 এবং সাধারন অন্তর`=d`

  এখন প্রথম  `n` পদের  সমষ্টি,`s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.``s_8=8/2{2a+(8-1)d}=4(2a+7d)`
 
 এবং`s_20=20/2{2a+(20-1)d}=10(2a+19d)`

 `:.`প্রশ্নমতে,  `4(2a+7d)=56`
 
  বা, `2a+7d=14...........(i)`

 এবং`10(2a+19d)=260`
  
  বা,`2a+19d=26...........(ii)`


 [/b]খ.[/b]
  
 ক. থেকে পাই,

 `2a+7d=14............(i)`

 `2a+19d=26...........(ii)`
  
  (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,

  `12d=12`

  `:. d=1`

  (i) নং এ `d` এর মান বসিয়ে পাই,

 `2a+7.1=14`

  বা, `2a=14-7`
 
  বা,`a=7/2`

  `:. a=7/2`

  `:.` ধারাটির প্রথম পদ, `a=7/2`  সাধারন অন্তর `d=1` Ans.


 [/b]গ.[/b]

 কোন ধারা বের করতে হলে সাধারনত ধারাটির প্রথম তিনটি পদ বের করলেই ধারাটি প্রকাশ করা যায ।

 এখানে, প্রথম পদ`a=7/2`

  ২য় পদ `=a+d=7/2+1` [খ থেকে]
           
           `=9/2`

  ৩য় পদ  `=a+2d` [খ থেকে]
          
           `=7/2+2`
          
           `=11/2`

  `:.`ধারাটি  `7/2+9/2+11/2+.........`

  এখন, ধারাটির প্রথম   30টি পদের সমষ্টি,

  `s_30=30/2{2. 7/2+(30-1)1}`
        
        `=15(7+29)`
        
       `=15 xx 36`
        
       `=540`

সমাধান:দেওয়া আছে,

   (x+7)(y-3)+7=(y+3)(x-1)+5....................(i)
            
    5x-11y+35=0......................(ii)
  
    (i) নং সমীকরণ থেকে,
     
    (x+7)(y-3)+7=(y+3)(x-1)+5
  
     বা,xy-3x+7y-21+7=xy-y+3x-3+5
   
     বা,xy-3x+7y-14-xy+y-3x+3-5=0
    
     বা,-6x+8y-16=0
   
      বা, -2(3x-4y+8)=0
    
      :.3x-4y+8=0..................(iii)
    
       এবং  5x-11y+35=0......................(iv)
    
       এখন (iii) নং (iv) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
        
       `x/(35xx(-4)-(-11)xx8)=y/(5xx8-3xx35)`
           
        `=1/((-11)xx3-5xx(-4))`
           
         বা, `x/(-140+88)=y/(40-105)=1/(-33+20)`
           
         বা, `x/-52=y/-65=1/-13`
            
         বা, `x/52=y/65=1/13 [ ]`
          
       `:. x/52=1/13` বা, `x=52/13=4` এবং `y/65=1/13` বা, `y=65/13=5`
       
         :. নির্ণেয় সমাধান:(x,y)=(4,5)

ক. সমান্তর ধারার ১ম পদ `m`, সাধারণ অন্তর   `n` হলে,
   
 ধারাটির `P-`তম পদ, ` m+(p-1)n=a……(i)`
  
 ধারাটির `q -`তম পদ,  ` m+(q-1)n=b……(ii)`

 ধারাটির `r -`তম পদ, ` m+(r-1)n=c……(iii)` খ. এখানে, বামপক্ষ `=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)`

 `= {m+(p-1)n}(q-r)+{m+(q-1)n}(r-p)`

 `+{m+(r-1)n}(p-q)`  [ক, থেকে `a,b` ও `c` এর মান বসিয়ে ]

 `= m(q-r+r-p+p-q)+n{p-1(q-r)`

 `+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}`

 `= m  xx 0+n{pq-pr-q+r+qr-pq-r`

 ` +p+rp-rp-p+q}`

 `= 0+n xx 0=0`

 `:. a (q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0` (দেখানো হলো) গ. `m+(p-1)n=a………………(i)`

 `m+(q-1)n=b………………(ii)`

 `m+(r-1)n=c………………(iii)`

 `(i)` নং থেকে `(ii)` নং বিয়োগ করে পাই,

 `n(p-1-q+1)=a-b`
 
 বা ,` n=(a-b)/(p-q)`

 `:. n =(a-b)/(p-q)`
 
 (i) নং এ `n` এর মান বসিয়ে পাই,

 `m+(p-1) (a-b)/(p-q)=a`
 
 বা , `m= a - ((p-1)(a-b))/(p-q)`
  
 বা, `m=(ap-aq-ap+bp+a-b)/(p-q)`

 `:.  m =(a-b+bq-aq)/(p-q)`
  
 `:.`,` m-n = (a-b+bp-aq)/(p-q)- (a-b)/(p-q)`
    
 `=(bp-aq)/(p-q)` (দেখানো হলো)

ক. এথনে ধারাটির যে কোন পদ - পুর্ববতী পদ
 
`= (3-1)` বা `(5-3) = 2` শেষ পদ বিদ্যমান ।
  
`:.`ধারাটি একটি সসীম সমান্তর ধারা । Ansখ. এথনে ধারাটির ১ম পদ, `a=1`

 এবং সাধারন অন্তর, `d=2`

  মনে করি ধারাটির `n` তম পদ  `=125`

  অর্থাৎ, `a+(n-1)d=125`
  
  বা, `a+(n-1) xx 2=125`
  
  বা, `1+2n-2=125`
  
  বা, `- 1+2n=125`
  
  বা, `2n=125+1`
  
  বা, `2n=126`

  `:. n=63`

  `:.`  ধারাটির সমষ্টি `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

  `=63/2{2 xx 1+(63-1) xx 2}=63/2(2+63 xx 2)`

  `=63/2(2+124)=63/2 xx 126`

  `=63 xx 63= 3969`

  `:.`  ধারাটির সমষ্টি   `=3969`Ansগ. ‘খ’ হতে পাই, প্রদত্ত  ধারাটির সমষ্টি `s_n =3969`

  এখানে ধারাটির যেকোন পদ - পূর্ববতী পদ

 `=(171-169) বা (173-171)=2`

  `:.` ধারাটি একটি সমান্তর ধারা ।

 ধারাটির প্রথম পদ `a =169`

  এবং সাধারন অন্তর `d=2`

  মনেকরি ধারাটির `n` তম পদ` =209`
 
 অথ্যৎ `a+(n-1)d =209`
  
  বা, `169+(n-1) xx 2=209`
  
  বা, `169+2n-2=209`
  
  বা , `2n=209-167`     বা, `2n=42`
  
  বা, `n=42/2`

  `:. n=21`

  `:.` প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি

  `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
      
   `=21/2{2 xx 169+(21-1) xx 2}`
      
   `=21/2{338+20 xx 2}`
       
  `=21/2{338+40}`
       
  `=21/2 xx 378`
       
  `=21 xx 189`
      
   `=3969`

  `:.` প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি 
 
  `s_n=` শেষোক্ত ধারাটির সমষ্টি `s_n = 3969` (দেখানো হলো)

ক.  এখানে , স্ত্রী পায় 6000 টাকা

   `:.` মোট বোনাস`xx1/4 = 6000`

    বা, মোট বোনাস =24000 টাকা

    মনে করে, প্রত্যেক মেয়ে পায় x  টাকা

    :. প্রত্যেক ছেলে পায় ` 1  1/2  x `  বা, `(3x)/2`  টাকা

     প্রশ্নানুসারে, `2xx(3x)/3+3x+6000= 24000`.........(i)


     খ. ‘ক’ অংশ হতে পাই,

      ` 2xx(3x)/3+3x+6000= 24000`

      বা, `3x+3x= 24000-6000`

      বা, `6x= 18000`

      বা, `x= 18000/6`

      `:.   x= 3000 `

      `:.` ছেলেদ্বয়  পায় `2xx(3x)/2= 3x= 3xx3000= 9000` টাকা

      `:.` মোট বোনাস হতে ছেলেদ্বয়ের প্রাপ্ত টাকার

        শতকরা পরিমাণ = (প্রাপ্ত টাকা`/`মোট বোনাসের টাকা` xx`100)%

                   =`(9000/24000xx100)%`

                   = `75/2%`  বা, `37.5%` (Ans.)


 গ.  ‘ক’ অংশ হতে পাই,

     মোট বোনাস  টাকা = 24000  টাকা

     স্ত্রীর প্রাপ্ত টাকা  টাকা = 6000  টাকা

    এবং প্রত্যেক মেয়ের প্রাপ্ত টাকা  x টাকা = 3000 টাকা

   `:.` বর্তমানে প্রত্যেক মেয়ের প্রাপ্ত টাকা `= 1 1/2  x`  বা,`(3x)/2`টাকা 

                                    `= (3xx3000)/2`  টাকা

                                   `= 4500`  টাকা

 প্রশ্নানুসারে ,2 ছেলের টাকা + (3`xx`4500)+6000= 24000

    বা, 2 ছেলের টাকা +13500+6000= 24000

    বা,2 ছেলের টাকা +19500= 24000

    বা, 2 ছেলের টাকা = 24000-19500

    বা, 2 ছেলের টাকা = 4500

    বা,  1 ছেলের টাকা = `4500/2`

    `:.`1 ছেলের টাকা =2250 

     পূর্বে প্রতি ছেলের প্রপ্ত টাকা ছিল  টাকা = `(3x)/2`টাকা

                           `= (3xx3000)/2`  টাকা

                           `= 4500`  টাকা

  `:.` প্রত্যেক ছেলে পূর্বের তুলনায় কম পেল = (4500-2250)  টাকা

                                            = 2250  টাকা (Ans.)