সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণদ্ধয়
     
         3x-y-7=0=2x+y-3
     
        :.3x-y-7=0..............(i)
   
        2x+y-3=0.................(ii)

      সমীকরণদ্ধয়ের আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

     `:.x/((-1)xx(-3)-1xx(-7))=y/((-7)xx2 - 3xx(-3))`

      `=1/(3xx1-2xx(-1))`

      বা,`x/3+7=y/(-14+9)=1/3+2`
  
     বা, `x/10=y/-5=1/5`
  
  ` :. x/10=1/5  এবং y/-5=1/5`
    
     বা, `x=10/5  বা, y=-5/5`
      
    :. x=2   :. y=-1
  
  :. নির্ণেয় সমাধান: (x,y)=(2,-1)

সমাধান: দেওয়া আছে,

         `ax+by=a^2+b^2.................(i)`
                           
          2bx-ay=ab.....................(ii)
   
         (i) নং ও (ii) সমীকরণকে পক্ষান্তর করে পাই,
         
        `ax+by-(a^2+b^2)=0`
            
          2abx-ay-ab=0
 
        এখন,উপরিউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
         
       `x/(bxx(-ab)-(-a)xx{-(a^2+b^2)})`
          
       `=y/(-(a^2+b^2)xx2b-(-ab)xxa)=1/(-axxa-2bxxb)`
       
        বা,` x/(-ab^2-a^3-ab^2)=y/(2a^2b-2b^3+a^2b)=1/(a^2-2b^2)`
       
        বা,`x/(-a^3-2ab^2)=y/(-a^2b)=1/(-a^2-2b^2)`
      
        বা,`x/(-a(a^2+2b^2))=y/(-b(a^2+2b^2))=1/(-(a^2+2b^2))`
        
        বা,`x/a=y/b=1/1` [ত্রিপক্ষকে `-(a^2+2b^2))` দ্ধারা গুণ করে ]
            
        `:. x/a=1/1` বা , x=a  এবং` y/b=1/1` বা ,y=b
               
        ;. নির্ণেয় সমাধান: (x,y)=(a,b)

ক. দেওয়া আছে, পঁচিশ পয়সার মুদ্রা x টি

  `:.`পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা `(120-x)` টি

   অতএব, পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা হবে `(120-x)xx5` পয়সা

            বা,`(120-x )50/100` টাকা (Ans.)
      

 খ.   প্রশ্নমতে,`25x+50(120-x)= 3500`

      বা, `25x+6000-50x= 3500`

      বা, `25x-50x= 3500-6000`[পক্ষান্তর করে]

      বা,`-25x= -2500`

       বা,`x= (-2500)/-25`

        `:.   x= 100`

        `:.` পঁশিচ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 100  টি

         এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা (120-100) টি  বা 20 টি

         পঁচিশ পয়সার মুদ্রা 100 টি এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা 20 টি (Ans.)


  গ. ‘খ’ হতে পাই, পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 20 টি

     এবং পঁশিচ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 100 টি

     পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা দ্বিগুন করলে হয় `(20xx2)`টি বা 40 টি

     40 টি পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা হয় `= (40xx50)` পয়সা

                                     `= 2000` পয়সা

                                     `= 2000/100` টাকা

                                     `= 20` টাকা

    `:.` পঁচিশ পয়সার মুদ্রা হবে `= (35-20)`টাকা

                                   `= 15`টাকা

                                   `= (15xx100)`পয়সা

                                   `= 1500`পয়সা

   `:.`পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা হবে `1500/25`টি = 60 টি

   `:.` পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কমাতে হবে `(100-60)`টি

                                         `= 40`টি   (Ans.)

সমাধান:দেওয়া আছে,

         y(3+x)=x(6+y)..............(i)
                       
         3(3+x)=5(y-1)....................(ii)
     
        (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
              
        3y+xy=6x+xy
             
        বা, 6x+xy-3y-3y-xy=0
              
        বা, 6x-3y=0
   
       (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
             
        9+3x=5y-5
        
        বা, 3x-5y+9+5=0
           
        বা, 3x-5y+14=0
  
        আথাৎ(i) নং এবং (ii) নং সমীকরণ দুইটির ভিন্ন রুপ হলো :
             
        6x-3y+0=0...............(i)
             
        3x-5y+14=0...............(iv)
 
        এখন (iii) নং এবং (iv) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
          
        `x/((-3)xx14-(-5)xx0)=y/(3xx0-6xx14)`
             
         `=1/(6xx(-5)-3xx(-3)`
           
           বা,`x/(-42+0)=y/(0-84)=1/(-30+9)`
              
           বা,`x/-42=y/-84=1/-21`
           
           `:. x/-42=1/-21`
             
             বা,`x=(-42)/(-21)=2`
              
              এবং`y/-84=1/-21`
           
              বা,` y=(-84)/(-21)=4`
          
             :. নিণেয় সমাধান: (x,y)=(2,4)

ক. মনেকরি, একটি সংখ্যা = x

 `:.`অপর সংখ্যাটি =(x এর `2/3`) = `(2x)/3`

   প্রশ্নমতে, `x+(2x)/3= 100` (Ans.)


 খ. ‘ক’ হতে পাই,`x+(2x)/3= 100`

           বা, `(3x+2x)/3= 100`

           বা, `(5x)/3= 100`

           বা, `5x= 100xx3` [আড়াগুণন করে]

           বা, `5x= 300`

           বা, `x=300/5`

             `:. x = 60`

           অর্থাৎ, একটি সংখ্যা, `x= 60`

           এবং অপর সংখ্যাটি `=(2x)/3= (2xx60)/3= 40`

          `:.` সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 60 এবং 40 (Ans.)


 গ. ‘খ’ থেকে পাই, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 60 এবং 40

    `:.` সংখ্যা দুইটি দ্বারা গঠিত প্রকৃত ভগ্নাংশ `= 40/60=2/3`

      এখন,  মনে করি, ভগ্নাংশটির লব = x

      এবং       "    "        "     হর = x+1

     `:.` ভগ্নাংশটি= `x/(x+1)`

      প্রশ্নমতে,  `(x-1)/(x+1-1)= 2/3`

      বা, `(x-1)/x= 2/3`

      বা, `3x-3= 2x`

      বা, `3x-2x= 3`

       `:.   x = 3`

    `:.` ভগ্নাংশটি `= x/(x+1)= 3/(3+1)= 3/4` (Ans.)