ক. দেওয়া আছে,  সংখ্যা দুেইটি ক্রমিক

   `:.`একটি সংখ্যা y হলে অপর সংখ্যাটি y+1

    এখানে, সংখ্যা দুইটি বর্গের যোগফল 841

   `:.` প্রশ্নানুসারে,  `y^2+(y+1)^2=841`.........(i)


  খ.  ‘ক’ অংশ হতে পাই,

      `y^2+(y+1)^2=841`  

       বা, `y^2+y^2+2y+1=841` 

       বা, `2y^2+2y+1-841=0`

       বা, `2y^2+2y-840=0`

       বা, `y^2+y-420=0`

       বা, `y^2+21y-20y-420=0`

        বা, `y(y+2)-20(y+21)=0`

         বা, `(y+21)(y-20)=0`

         হয়,  y+21=0     অথবা, y-20=0
             
       `:.   y= -21`    `:.  y= 20`
                          (গ্রহণযোগ্য নয়)

      `:.`ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 20 ও (20+1)  বা, 21

                                               Ans. 20  , 21 .


  গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই, সংখ্যা দুইটি 20 ও 21

   `:.` আয়তক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য  মিটার 21 ও প্রস্থ 20 মিটার

   `:.`আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) একক

                              = 2(21+20) মিটার

                              = 82 মিটার

  এবং আয়তক্ষেএটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = `sqrt (`দৈর্ঘ্য`)^2 +  ( ` প্রস্থ `) ^2` একক

                                    =`sqrt 21^2+20^2 ` মিটার

                                    =`sqrt 441+400` মিটার

                                    =`sqrt 841` মিটার

                                    = 29  মিটার (Ans.)

ক.
`9+7+5+……………..`

 এখন ধারাটির যেকোনো পদ – তার পূর্ববর্তী পদ

 `= (7-9) (5-7) = -2`

 এবং শেষ পদ অনুপস্তিত ।

`:.`প্রদত্ত ধারাটি একটি অনন্ত সমান্তর ধারা । Ans.খ. এখানে ধারাটির প্রথম পদ `a =9`

  সাধারণ অন্তর `d= -2`
 
 মনেকরি ধারটির `n` তম পদ `= -11`
 
 আমরা জানি, সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`

 `:.` `a+(n-1)d = -11`
  
 বা, `9+(n-1)(-2) = -11`
  
 বা,`(n-1)(-2) = -11-9`
  
 বা,`( n-1)(-2) = -20`
  
 বা, `n-1=10`  [ উভয় পক্ষকে `-2` দ্বারা ভাগ করে]
  
 বা, `n= 10+1`

 `:.` `n= 11`
  
 অথাৎ ধারাটির `11` তম পদ  `-11` Ans.গ. আমরা জানি, কোন সমান্তর ধারার পদসংখ্যা `n` হলে,

 `n` সংখ্যক পদের যোগফল `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.` প্রদত্ত সমান্তর ধারার `n-`সংখ্যক পদের যোগফল,
 
 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
   
  `=n/2(18+2 -2n)`  [  যেখানে, `a=9` এবং `d=-2`]
    
 `=n/2(20 -2n)`
    
 `=n(10 -n)`
  
 প্রশ্নমতে,  `n(10- n) = -144`
  
 বা, `- n^2+10n+144=0`
  
 বা, `n^2-10n-144=0`  [উভয় পক্ষকে `-1` দ্বারা গুন করে]
  
 বা, `n^2 -18n+8n -144=0`
 
 বা, `n(n-18)+8(n-18)=0`
  
 বা, `(n+8)(n-18)=0`
  
 বা, `n+8=0`     অথবা, `n -18=0`

 `:.`  `n= -8`      `:.` `n=18`

 কিন্তু কোনো ধারার পদসংখ্যা  ঋনাত্নক হতে পারে না
 
  সুতরাং, `n = -8` গ্রহনযোগ্য নয় ।

 `:.`  নির্ণেয় মান `n=18` Ans.

ক. মনেকরি ধারাটির প্রথম পদ `=a`

 এবং সাধারণ অন্তর `=d`

 `:.` ধারাটির `12` তম পদ `=a+(12-1)d=a+11d`
     
 ধারাটির  `16`  তম পদ `=a+(16-1)d=a+15d`
   
 প্রশ্নমতে, ` a+11d=77`
 
 এবং `a+15d=85` Ans.খ. আমরা জানি, সমান্তর ধারার 

 প্রথম `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি,

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.` প্রথম  `23` টি পদের সমষ্টি,

 `s_23=23/2{2a+(23-1)d}`
        
 `=23/2{2a+22d}`
          
 `=23/2 xx 2(a+11d)`
          
  `=23 xx (a+11d)`
  
 `23 xx 77 ` [ক. থেকে পাই, `a+11d=77`]
          
 ` =1771`

 `:.` প্রথম `23`   পদের সমষ্টি, `=1771` Ans.গ. ’ক’ থেকে পাই,

  `a+11d=77..........(i)`

 `a+15d=85.........(ii)`

 `(ii)` নং সমীকরণ থেকে `(i)` নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

 `4d=8`
  
 বা, `d=8/4`

 `:. d=2`

 `d`  এর মান  `(i)` নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

 `a+11d=77`
  
  বা, `a+11 xx 2 =77`
  
  বা, `a+22=77`
  
  বা, `a=77-22`
        
 `:. a=55`

  `:.`   ধারাটির প্রথম পদ `55` এবং সাধারণ অন্তর  `2`
  
  মনেকরি ধারাটির `n-` তম পদ  `=107`
  
  আমরা জানি সমান্তর ধারার `n-` তম পদ  `=a+(n-1)d`

  `:.    a+(n-1)d=107`
  
  বা, `55+(n-1)2=107`
  
  বা, `(n-1)2=107 -55`
  
  বা, `(n-1)2=52`
 
  বা, `n-1=52/2`
  
  বা, `n-1=26`
 
  বা, `n=26+1`

 `:.  n=27`
 
 `:.`  ধারাটির  `27` তম পদ  `=107`

  প্রথম পদ `55` ও সাধারণ অন্তর  `2` এবং `27 `তম পদ `107` Ans.

ক. `2(5x+4)= 10+15/(5x4)`

 `=10/(5x+4)+15/(5x+4)` যা  (A+B)  আকারে এবং  3A=2B


 খ. প্রদত্ত সমীকরণ, 

    `4/(2x+1)+9/(3x+2)= 25/(5x+4)`

    বা,`4/(2x+1)+9/(3x+2)=10/(5x4)+15/(5x+4)` [ ‘ক’ থেকে পাই]

    বা,`4/(2x+1)-10/(5x+4)= 15/(5x+4)-9/(3x+2)` [পক্ষান্তর করে ]

    বা,`(4(5x+4)-10(2x+1))/( (2x+1)(5x+4))= (15(3x+2)-9(5x+4))/ ((5x+4)(3x+2))`

    বা,` (20x+16-20x)/((2x+1)(5x+4))= (45x+30-45x-36)/((5x+4)(3x+2))`

     বা, `6/(2x+1)(5x+4)= -6/(5x+4)(3x+2)`

     বা,`1/(2x+1)= -1/(3x+2)`
            [উভয়পক্ষকে `(5x+4)/6`  দ্বারা গুণ করে, যেখানে `5x+4!= 0` ]
      বা, `3x+2= -(2x+1)`

      বা, `3x+2= -2x-1`

      বা,`2x+3x= -2-1`

      বা, `5x= -3`

      বা,`x= - 3/5`

     `:.`নির্ণয় সমাধান : `x= - 3/5`


 গ.  `x=3/5` হলে প্রদত্ত সমীকরণের

     বামপক্ষ 
        `= 4/(2x+1) + 9/(3x+2)`

        `= 4/(2(-3/5)+1)+9/(3(-3/5)+2)`

        `= 4/(-(6/5)+1)+ 9/(-(9/5)+2)`

        `= 4/((-6+5)/5)+9/((-9+10)/5)= 4/(-1/5)+9/(1/5)`

        `=4xx(-5/1)+9xx 5/1`

        `= -20+45= 25`


  ডানপক্ষ 
    `= 25/(5x+4)`

    `=25/(5(-3/5)+4)= 25/(-3+4)=25/1= 25` 

    `:.` বামপক্ষ=  ডানপক্ষ

    `:.`সমীকরণটি সুদ্ধ হয়েছে ।

ক. :. দেওয়া আছে, 

 ধারাটির `n` পদের সমষ্টি, `s_n=n(n+1)=n^2+n`

 ` n=1, 2` বসিয়ে পাই -

 `s_1=`  প্রথম পদ  `= 1^2+1=2`

 `s_2=` প্রথম পদ `+`  দ্বিতীয় পদ `=2^2+2=6` Ans..খ. ’ক’ থেকে `s_1=2 `এবং  `s_2=6`

 আবার, `s_3=` প্রথম পদ `+` দ্বিতীয় পদ `+` তৃতীয় পদ

 `=3^2+3=12............(i)`
 
 `:.` প্রথম পদ `=2`

 `:.`  দ্বিতীয় পদ `=s_2- s_1=6-2=4`  []

 `:.` তৃতীয় পদ  `=s_3-s_2=12-6=6`  []
  
 এখানে, তৃতীয় পদ - প্রথম পদ `=4-2=2`

  তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ  `=6-4=2`
   
 অর্থাৎ যেকোনো পদ - তার পূর্ববর্তী পদ `=2`

 `:.`  ধারাটি সমান্তর ধারা এবং এর সাধারণ অন্তর `2`
 
  সুতরাং ধারাটি হলো, `2+4+6+8+......` গ. খ. থেকে পাই, ধারাটি, `2+4+6+........`
 
 যার প্রথম পদ, `a=2`

 সাধারণ অন্তর, `d=2`

 ধারাটির প্রথম `10` পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে ।
 
 :.  পদ সংখ্যা, `n=10`
  
 আমরা জানি, সমান্তর ধারার `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি,

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.   s_10=10/2{2  xx 2+(10-1)2}`
 
  `=5(4+18)`
  
 `=5 xx 22`
  
 `=110` Ans..