ক. ধরি, (a + b + c)p = (b + c - a)q = (c + a - b)r = (a + b - c)s = k

    :. (a + b + c)p = k

   বা, `(a + b + c)/k = 1/p`

     :.` 1/p = (a + b + c)/k`

 খ. ‘ক’ হতে পাই,

     :. `1/p = (a + b + c)/k`..........(i)

    আবার q (b + c - a) = k q = `k/(b + c - a)`

     :.` 1/q = (b + c - a)/k`..............(ii)

    এবং r (c + a - b) = k    `r = k/(c + a - b)`

    :. `1/r = (c + a - b)/k`..............(iii)

    আবার   s(a + b - c) = k `s = k/(a + b - c)`

        :.` 1/s = (a + b - c)/k`................(iv)

   (ii) নং (iii) নং এবং (iv) সমীকরণ যোগ করে পাই,

   `1/q + 1/r + 1/s = (b + c - a)/k + (c + a - b)/k + (a + b - c)/k`

                        =`1/k (b + c - a + c + a - b + a + b - c)`

                        =` (a + b + c)/k`

                        =` 1/p` [(i) নং থেকে]

         :.` 1/q + 1/r + 1/s = 1/p`   (প্রমাণিত)

   

  গ. ‘ক’ ও ‘খ’ হতে পাই,

   `1/p = (a + b + c)/k`

   `1/q = (b + c - a)/k`

   `1/r = (c + a - b)/k`

   এবং `1/s = (a + b - c)/k`

   এখন, `1/p^2 - 1/s^2 = ((a + b + c)/k)^2 - ((a + b - c)/k)^2`

   `= (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca)/(k^2) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)/k^2`

   `= (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab + 2bc + 2ca)/k^2`

   `= (4bc + 4ca)/k^2`

  আবার,  `1/q^2 - 1/r^2 = ((b + c - a)/k)^2 - ((c + a - b)/k)^2`

  `= (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab)/(k^2) - (c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc)/k^2`

  `= (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab - c^2 - a^2 - b^2 - 2ca + 2ab + 2bc)/k^2`

  `= (4bc - 4ca)/k^2`

 :.` (1/p^2 - 1/s^2) + (1/q^2 - 1/r^2) = (4bc + 4ca)/k^2 + (4bc - 4ca)/k^2`

                                                         =` (4bc + 4ca + 4bc - 4ca)/k^2 = (8bc)/k^2`

  :. `(1/p^2 - 1/s^2) + (1/q^2 - 1/r^2) = (8bc)/k^2`  (প্রমাণিত)

ক. দেওয় আাছে, রেজা ও তার পিতার বর্তমান বয়সের অনুপাত 1 : 3

   মনে করি রেজার বর্তমান বয়স x বছর 

   এবং তার পিতার বর্তমান বয়স 3x বছর 

   :. 8 বছর পর রেজার বয়স হবে (x + 8) বছর এবং তার পিতার বয়স হবে (3x + 8) বছর।

   :. 8 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে (x + 8) : (3x + 8) (Ans)


  খ. ‘ক’ অংশ হতে পাই,

     8 বছর পর রেজা ও তার পিতার বয়সের অনুপাত (x + 8) : (3x + 8)

    দেওয়া আছে, 8 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে 3 : 7

    প্রশ্নানুসারে,(x + 8) : (3x + 8) = 3 : 7

    বা,`(x + 8)/(3x + 8) = 3/7`

    বা, 9x + 24 = 7x + 56 [আড়গণন করে]

    বা, 9x - 7x = 56 - 24

    বা, 2x = 32

    বা, ` x = (32)/2`

    :. x = 16

    :. 16 

  
  গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই,

         রেজার বর্তমান বয়স বছর এবং তার পিতার বর্তমান বয়স 48 বছর।

         মনে করি y বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে 7 : 15

         আবার y বছর পর রেজার বয়স হবে (16 + y) বছর 

         তার পিতার বয়স হবে (48 + y) বছর।

         প্রশ্নানুসারে, (16 + y) : (48 + y) = 7 : 15

        বা, `(16 + y)/(48 + y) = 7/(15)`

        বা, 240 + 15y = 336 + 7y

        বা, 15y - 7y = 336 - 240

        বা, 8y = 96

        বা, y = `(96)/8`

         :. y = 12

         :. 12  বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে 7 : 15

         Ans: 12

ক. দেওয়া আছে, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী

  :. a : b = b : c বা, `a/b = b/c` 

   বা, `ac = b^2`

   বা, `b^2 = ac`.........(i)

   ধরি, a = 4, b = 6 c = 9

  (i) নং হতে পাই, ac = `4 xx 9` = 36

   এবং `b^2 = 6^2 = 36`

  :. `b^2 = ac` বা,` 6^2 = 4 xx 9`বা, `4/6 = 6/9`

  :. 4, 6, 9  ক্রমিক সমানুপাতী (Ans)

  

 খ. বামপক্ষ 
     `= a^2b^2c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`

    ` = (a^2b^2c^2)/(a^3) + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3`

    ` = (b^2(ac)^2)/a^3 + (b^2(ac)^2)/b^3 + (b^2(ac)^2)/c^3`

    ` = (ac(ac)^2)/a^3 + (b^2(b^2)^2)/b^3 + ((ac)(ac)^2)/c^3` [’ক’ হতে পাই, `b^2 = ac`]

    ` = (a^3c^3)/a^3 + b^6/b^3 + (a^3 c^3)/c^3 `

     `= c^3 + b^3 + a^3`

    ` = a^3 + b^3 + c^3`= ডানপক্ষ

   `:. a^2 b^2 c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) `

   `= a^3 + b^3 + c^3` প্রমাণিত

 গ. বামপক্ষ 
     =`(abc (a + b + c)^3)/(ab + bc + ca)^3`

     =` (abc(a + b + c)^3)/(ab + bc + b^2)^3`

   ` = (b.b^2(a + b + c)^3)/(b^3(a + c + b)^3`

   ` = (b^3(a + b + c)^3)/(b^3(a + b + c)^3)`

     = 1 = ডানপক্ষ

     :. `(abc(a + b + c)^3)/(ab + bc + ca)^3 = 1` (প্রমাণিত)

মনে করি, শতকরা খরচ বৃদ্ধি টাকা

  :. প্রাক্কলিত খরচ/খরচ বৃদ্ধি `= (90000)/(21600) = (100)/x`

   বা, 90000x = 21600` xx` 100

   বা, x = `(21600 xx 100)/(90000)`

     :. x = 24

ধরি, ধানে চাল 7x কেজি থাকলে তুষ থাকে 3x কেজি।

  :. সর্বমোট = (7x + 3x) কেজি = 10x কেজি ।

  ধানে চালের শতকরা পরিমাণ = ধানে চালের পরিমাণ/ধানের পরিমাণ` xx` 100

                              `(7x xx 100)/(10x)` = 70