ক. দেওয়া আছে, 

 `2a = sqrt(7) + sqrt(5) 2b = sqrt(7) - sqrt(5)`

 `:. a + b = (2a + 2b)/2 = (sqrt(7) + sqrt(5) + sqrt(7) - sqrt(5))/2 = sqrt(7)`

 এবং `a - b = (2a - 2b)/2 = (sqrt(7) + sqrt(5)) - (sqrt(7) - sqrt(5))/2`

 `= (sqrt(7) + sqrt(5) - sqrt(7) + sqrt(5))/2 = (2sqrt(5))/2 = sqrt(5)`



 খ. ‘ক’ হতে পাই, `a + b = sqrt(7) a - b = sqrt(5)`

  বামপক্ষ 

  =`8ab(a^2 + b^2)`

  = `4ab . 2(a^2 + b^2)`

  =`{(a + b)^2 - (a - b)^2} {(a + b)^2 + (a - b)^2}`
                                              [সূত্র প্রয়োগ করে]
  
 =` {(sqrt(7))^2 - (sqrt(5))^2} {(sqrt(7))^2 + (sqrt(5))^2}`

                                             [মান বসিয়ে]

 =` (7 - 5) (7 + 5)`

 =` 2 xx 12`

 =` 24`

 = ডানপক্ষ

  :. `8ab (a^2 + b^2) = 24`  (প্রমাণিত)


 গ. বামপক্ষ =`ab(a^4 - b^4)`

       =`ab{(a^2)^2 - (b^2)^2}`

       =` ab(a^2 + b^2) (a^2 - b^2)`

       =` (8ab(a^2 + b^2)/8  (a + b) (a - b)`

       =` (24)/8. sqrt(7). sqrt(5). ` [’ক’ ও ‘খ’ এর মান বসিয়ে]

       =` 3sqrt(35)`

       = ডানপক্ষ

     :. `ab (a^4 - b^4) = 3sqrt(35)`  ( দেখানো হলো)

ক. দেওয়া আছে, 

  `x^2 - sqrt(2) x = 1`

   বা, `x^2 - 1 = sqrt(2x)`

   বা, `(x^2 - 1)/x = sqrt(2)`

   বা, `x^2/x - 1/x = sqrt(2)`

   :. `x - 1/x = sqrt(2)`   (দেখানো হলো)


 খ. বামপক্ষ

  `= 7(x^2 + 1/x^2)`

 ` = 7{(x)^2 + (1/x)^2}`

 ` = 7{(x - 1/x)^2 + 2.x. 1/x}`

 ` = 7{7(sqrt(2)^2 + 2}`  [’ক’ হতে]

  `= 7 (2 + 2)`

  `= 7 xx 4`

  `= 28`



  ডানপক্ষ 

 `= 2(x^4 + 1/x^4) = 2{(x^2)^2 + (1/x^2)^2}`

 `= 2{(x^2 + 1/x^2)^2 - 2.x^2. 1/x^2}`

 `= 2{(x^2 + 1/x^2)^2 - 2}`

 `= 2[{(x - 1/x)^2 + 2. x. 1/x}^2 - 2]`

 `= 2[{(sqrt(2))^2 + 2}^2 - 2]` [’ক’ হতে]

 `= 2[(4)^2 - 2]`

 `= 2 xx 14`

   = 28

    :.` 7 (x^2 + 1/x^2) = 2(x^4 + 1/x^4)`  (দেখানো হলো)

   
  গ. `(x^4 - 1/x^4)/(x + 1/x) = ((x^2)^2 - (1/x^2)^2)/(x + 1/x)`

   `= ((x^2 + 1/x^2) (x + 1/x) (x - 1/x))/(x + 1/x)`

   `= (x^2 + 1/x^2) (x - 1/x)`

   `= 4 xx sqrt(2)` [’খ’ হতে]

   `= 4sqrt(2)`

প্রদত্ত রাশির ঘন 

 `= (3x + 2y)^3`

 `= (3x)^3 + 3. (3x)^2. 2y + 3.3x.(2y)^2 + ()2y)^3`

 `= 27x^3 + 3.9x^2.2y + 3.3x.4y^2 + 8y^3`

 `= 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3` (Ans)

প্রদত্ত রাশির ঘন 

 `= (3x - 4y)^3`

 `= (3x)^3 - 3.(3x)^2.4y + 3.3x.(4y)^2 - (4y)^3`

 `= 27x^3 - 3.9x^2.4y + 3.3x. 16y^2 - 64y^3`

 `= 27x^3 - 108x^2y + 144xy^2 - 64y^2`

প্রদত্ত রাশির ঘন 

 `= (397)^3 = (400 - 3)^3`

 `= (400)^3 - 3. (400)^2.3 + 3.400.(3)^2 - (3)^3`

 `= 64000000 - 3.160000.3 + 3.400.9 - 27`

 `= 64000000 - 1440000 + 10800 - 27`

 `= 62570773`  (Ans)