ক. প্রদত্ত রাশির বর্গ 

 = `(x - 5y + 2z)^2 = {x + (- 5y) + 2z}^2`

 =` x^2 + (-5y)^2 + (2z)^2 + 2.x (- 5y) + 2 (-5y).`

                                                      ` 2z + 2.x.2z`

 =` x^2 + 25y^2 + 4z^2 - 10xy - 20yz + 4zx` (Ans)

 খ. প্রশ্নমতে,  a = 3xy + 2ax b = 4x - 3y

  :. `(a + b)^2 = (3xy + 2ax + 4x - 3y)^2`

  `= {(3xy + 2ax) + (4x - 3y)}^2`

  `= (3xy + 2ax)^2 + 2 (3xy + 2ax) (4x - 3y) + (4x - 3y)^2`

  `= 9x^2y^2 + 4a^2x^2 + 12ax^2y + 2(12x^2y - 9xy^2 + 8ax^2 - 6axy) +` 

                                                              ` 16x^2 + 9y^2 - 24xy.`

  `= 9x^2y^2 + 4a^2x^2 + 12ax^2y + 24x^2y - 18xy^2 + 16ax^2 - `

                                                  `12axy + 16x^2 + 9y^2 - 24xy`


 গ. (১ম রাশি`)^2` + (২য় রাশি`)^2` - (৩য় রাশি`)^2`

 `= (3xy + 2ax)^2 + (4x - 3y)^2 - (x - 5y + 2z)^2`

 `= 9x^2y^2 + 12ax^2y + 4a^2x^2 + 16x^2 - 24xy + 9y^2`
                         `-(x^2 + 25y^2 + 4z^2 - 10xy - 20yz + 4zx)` ['ক' হতে]

 `= 9x^2y^2 + 12ax^2y + 4a^2x^2 + 16x^2 - 24xy + 9y^2 - x^2 - 25y^2`
                                `-4z^2 + 10xy + 20yz - 4zx`

 `= 9x^2y^2 + 12ax^2y + 4a^2x^2 + 15x^2 - 14xy - 16y^2 + 20yz`
                                         `- 4zx - 4z^2`

ক. দেওয়া আছে,
   `x^2 - 4x - 1 = 0`

   বা, `x^2 - 1 = 4x`

   বা,`x^2/x - 1/x = (4x)/x` [উভয়পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]

   `:. x - 1/x = 4`



 খ. ’ক’ হতে প্রাপ্ত 

  `x - 1/x = 4`

 :. `(x + 1/x)^2 = (x - 1/x)^2 + 4.x.1/x`

                    `= 4^2 + 4`

                      = 20

             বা, `x + 1/x = +- sqrt(20)`

             :.` x + 1/x = +- sqrt(5)`


            
   বামপক্ষ 

  `= (x^2 - 1/x^2)^2`

  `= {(x + 1/x)(x - 1/x)}^2`

  `= {(+- 2sqrt(5).4}^2`

  `= (+- 8sqrt(5))^2`

  `= 320`

   ডানপক্ষ

    :. `(x^2 - 1/x^2)^2 = 320` (প্রমাণিত)


 গ. দেওয়া আছে, 

 `x - 1/x = 4`

  বা, `(x - 1/x)^2 = (4)^2`  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

  বা, `x^2 - 2.x.1/x + (1/x)^2 = 16`

            [`(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2`সূত্র প্রয়োগ করে]

  বা, `x^2 + 1/x^2 - 2 = 16`

  বা, `x^2 + 1/x^2 = 16 + 2` [পক্ষান্তর করে]

  বা, `(x^2 + 1/x^2)^2 = (18)^2` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

  বা, `(x^2)^2 + 2.x^2. 1/x^2 + (1/x^2)^2 = 324`

                 [`(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`সূত্র ব্যবহার করে]

  বা, `x^4 + 2 + 1/x^4 = 324`

  বা, `x^4 + 1/x^4 = 324 - 2`

   :.` x^4 + 1/x^4 = 322` (প্রমাণিত)

ক.দেওয়া আছে,  `x + 1/x = 3`

     এখন, `(sqrt(x) - 1/sqrt(x))^2 = (sqrt(x)^2 - 2.sqrt(x).1/sqrt(x) + (1/sqrt(x))^2`

          `= x - 2 + 1/x`

          `= x + 1/x - 2 [:. x + 1/x = 3]`

          `= 3 - 2`

          `(sqrt(x) - 1/sqrt(x))^2 = 1`

          :.` sqrt(x) - 1/sqrt(x) = +- 1`  (Ans)


 খ. দেওয়া আছে, 
           `x + 1/x = 3`

        বা, `(x + 1/x)^2 = (3)^2 ` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

        বা, `x^2 + 2.x.1/x + (1/x)^2 = 9`

        বা, `x^2 + 2 + 1/x^2 = 9`

        বা, `x^2 + 1/x^2 = 9 - 2`

        বা, `x^2 + 1/x^2 = 7`

        বা, `(x^2 + 1/x^2)^2 = (7)^2` [পুনরায় উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

        বা, `(x^2)^2 + 2.x^2. (1)/x^2 + (1/x^2)^2 = 49`

        বা, `x^4 + 2 + 1/x^4 = 49`

        বা, `x^4 + 1/x^4 = 49 - 2`

         `:. x^4 + 1/x^4 = 47`  (Ans)


  গ. দেওয়া আছে, `x + 1/x = 3`

           
   বামপক্ষ `= (sqrt(x) + 1/sqrt(x))^4`

            `= {(sqrt(x) + 1/sqrt(x))^2}^2`

            `= {(sqrt(x))^2 + 2.sqrt(x).1/sqrt(x) + (1/sqrt(x))^2}^2`

           ` = (x + 2 + 1/x)^2`

           ` = x + 1/x + 2)^2`

           `= (3 + 2)^2  [:. x + 1/x = 3]`

           `= (5)^2`

           `= 25`

           ডানপক্ষ
     
       :. `(sqrt(x) + 1/sqrt(x))^4 = 25`  (দেখানো হলো)

ক. দেওয়া আছে, 

 `x = 9 + 4sqrt(5)`

   `= 5 + 4sqrt(5) + 4`

   `= (sqrt(5))^2 + 2. sqrt(5) . 2 + 2^2`

   `= (sqrt(5) + 2)^2`     (Ans)

  খ. ‘ক’ হতে পাই,

   `x = (sqrt(5) +2)^2`

   :.` sqrt(x) = sqrt(5) + 2`

   :.` 1/sqrt(x) = 1/(sqrt(5) + 2)` [বিপরীতকরণ করে]

   `= (sqrt(5) - 2)/(sqrt(5) + 2) (sqrt(5) - 2)`

   `= (sqrt(5) - 2)/(sqrt(5)^2 - (2)^2`

   `= (sqrt(5 - 2)/(5 - 4)`

   `= sqrt(5) - 2`

 :.` (sqrt(x) - 1/sqrt(x))^2`

 ` = (sqrt(5) + 2 - sqrt(5) + 2)^2` [মান বনিয়ে]

  `= (4)^2`

    = 16  Ans

  
  গ. দেওয়া আছে, 

   `x = 9 + 4sqrt(5)`

    :. `1/x = 1/(9 + 4sqrt(5)`

  `= (9 - 4sqrt(5))/((9 + 4sqrt(5)) (9 - 4sqrt(5))`

  `= (9 - 4sqrt(5))/(81 - (4sqrt(5))^2`

  `= (9 - 4sqrt(5))/(81 - 80)`

  `= 9 - 4sqrt(5)`

    :. `1/x = 9 - 4sqrt(5)`

   :.` x + 1/x = 9 + 4sqrt(5) + 9 - 4sqrt(5)`

    বা, `x + 1/x = 18`

    বা, `(x + 1/x)^2 = 18^2` [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

    বা, `x^2 + 2.x. 1/x + 1/x^2 = 324`

    বা, `x^2 + 1/x^2 = 324 - 2`

    বা, `(x^4 + 1)/x^2 = 322`

    বা, `x^4 + 1 = 322x^2`

    :.` x^4 - 322x^2 + 1 = 0`

খ. দেওয়া আছে, a + b + c = 15

   `a^2 + b^2 + c^2 = 83`

  ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত ab + bc + ca = 71

  প্রদত্ত রাশি,  

 `= (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2`

 `= a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2`

 `= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)`

 `= 2 xx 83 - 2 xx 71`

 `= 166 - 142`

 `= 24`   (Ans)


 গ. বামপক্ষ 

  = `(a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2`

  =` a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2bc + c^2 + c^2 + 2ca + a^2`

  =` 2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca)`

   =` 2 xx 83 + 2 xx 71`

   =` 166 + 142`

   = 308

   = ডানপক্ষ

  :.` (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2` 

    = 308   (দেখানো হলো)