দেওয়া আছে, x + y + z = 10 xy + yz + zx = 31

   আমরা জানি,

   `(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)`

    বা, `(10)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2 xx 3` [মান বসিয়ে]

    বা, `x^2 + y^2 + z^2 = 100 - 62`

     :.` x^2 + y^2 + z^2 = 38`


   প্রদত্ত রাশি 

  `= (x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2`

  `= x^2 + 2xy + y^2 + y^2 + 2yz + z^2 + z^2 + 2zx + x^2`

  `= 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy + yz + zx)`

  `= (2 xx 38) + (2 xx 31)` [মান বসিয়ে]

    = 76 + 62

    = 138   (Ans)

দেওয়া আছে, x = 3, y = 4 z = 5

 প্রদ্ত্ত রাশি 

 `= 9x^2 + 16y^2 + 4z^2 - 24xy - 16yz + 12zx`

` = (3x)^2 + (- 4y)^2 + (2z)^2 + 2.3x (-4y) + 2.(-4y).2z + 2.3x. 2z`

 ` = (3x)^2 + (- 4y)^2 + (2z)^2 + 2{3x(-4y) + (-4y).2x + 3x.2z}`

  `= {3x + (-4y) + 2z}^2`

  `= (3x - 4y + 2z)^2`

  `= (3.3 - 4,4 + 2.5)^2` [মান বসিয়ে]

  `= (9 - 16 + 10)^2`

  `= 3^2`

    = 9   (Ans)

বামপক্ষ 

` = {((x + y)/2)^2 - ((x - y)/2)^2}^2`

 `=  (xy)^2` [সূত্র ব্যবহার করে]

 `= x^2y^2`

 `= ab [x^2 = a` এবং `y^2 = b` ধরে ]

 `= ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2` [সূত্র ব্যবহার করে]

 `= ((x^2 + y^2)/2)^2 - ((x^2 - y^2)/2)^2` [a ও b এর মান বসিয়ে]

   = ডানপক্ষ


  :. `{((x + y)/2)^2 - ((x - y)/2)^2}^2 = ((x^2 + y^2)/2)^2 - ((x^2 - y^2)/2)^2`  (প্রমাণিত)

`x^2 + 10x + 24`

     `= x^2 + 6x + 4x + 24`

     `= x(x + 6) + 4(x + 6)`

     `= (x + 6) (x + 4)`

     `= {((x + 6) + (x + 4))/2}^2 - {((x + 6) - (x + 4))/2}^2`

                                 [সূত্র ব্যবহার করে ]

     `= ((x + 6 + x + 4)/2)^2 - ((x + 6 - x - 4)/2)^2`

     `= ((2x + 10)/2)^2 - (2/2)^2`

     `= {(2(x + 5))/2}^2 - 1^2`

     `= (x + 5)^2 - 1^2`  (Ans)

দেওয়া আছে, `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8`...........(1)

         এবং  `a^2 + ab + b^2 = 4`.............(2)



  (1) নং হতে পাই,

     `a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8`

   বা, `(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 - a^2b^2 = 8`

   বা, `(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = 8`

   বা,  `(a^2 + b^2 + ab) (a^2 + b^2 - ab) = 8`

   বা, ` 4(a^2 + b^2 - ab) = 8 ` [(2) নং এর মান বসিয়ে]

   বা,  ` a^2 - ab + b^2 = 8/4`

     `:. a^2 - ab + b^2 = 2` ...........(3)


   (i) নং  (2) ও (3) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

   `a^2 + ab + b^2 + a^2 - ab + b^2 = 4 + 2`

    বা, ` 2a^2 + 2b^2 = 6`

    বা, `2(a^2 + b^2) = 6`

    বা,  `a^2 + b^2 = 6/2`

     `:. a^2 + b^2 = 3`   (Ans)

 (ii) (2) ও (3) নং সমীকরণ হতে নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, 
 
     `a^2 + ab + b^2 - a^2 + ab - b^2 = 4 - 2`

    বা,  `2ab = 2`

    বা, `ab = 2/2`

      :. ab = 1  (Ans)