ক. প্রথম রাশি, `= (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5)`

                   `= (x^2 + 2x + 3x + 6) (x^2 + 4x + 5x + 20)`

                   `= (x^2 + 5x + 6) (x^2 + 9x + 20)`  (Ans)

 খ. প্রথম রাশির সাথে (-48) যোগ করলে

    `(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) - 48`

   `= (x + 2) (x + 5) (x + 3) (x + 4) - 48`

   `= (x^2 + 7x + 10) (x^2 + 7x + 12) - 48`

   `= (a + 10) (a + 12) - 48  [x^2 + 7x = a` ধরে ]

   `= a^2 + 22a + 120 - 48`

   `= a^2 + 22a + 72`

   `= a^2 + 18a + 4a + 72`

   `= a(a + 18) + 4(a + 18)`

   `= (a + 18) (a + 4)`

   `= (x^2 + 7x + 18) (x^2 + 8x + 4)`  [a এর মান বসিয়ে পাই,]


  গ. `(x + 5) (x - 9) - 15`

      `= x^2 + 5x - 9x - 45 - 15`

      `= x^2 - 4x - 60`

      `= x^2 - 10x + 6x - 60`

      `= x(x - 10) + 6(x - 10)`

      `= (x - 10) (x + 6)`   (Ans)

ধরি, `f(x) = 6x^2 - 7x + 1`

   `f(1) = 6.1^2 - 7.1 + 1 = 0`

   `:. (x - 1), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `6x^2 - 7x + 1 = 6x^2 - 6x - x + 1`

     `= 6x (x - 1) - 1 (x - 1) = (x - 1) (6x - 1)`    (Ans)

ধরি, `f(a) = 3a^3 + 2a + 5`

  তাহলে `f(- 1) = 3 (- 1)^3 + 2 (- 1) + 5`

    `= - 3 - 2 + 5 = 0`

 `:. {a - (- 1) = (a + 1). f(a)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `3a^3 + 2a + 5`

  `= 3a^3 + 3a^2 - 3a^2 - 3a + 5a + 5`

 `= 3a^2 (a + 1) - 3a (a + 1) + 5(a + 1)`

 `= (a + 1) (3a^2 - 3a + 5)`   (Ans)

ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়েগের উদেশ্যে x কে অনির্দেশক  বা চলক এবং y 

 কে ধ্রবক হিসেবে বিবেচনা করি।

  মনে করি, `f(x) = x^3 - 7xy^2 - 6y^3`

  `:. f(-y) = (-y)^3 - 7(-y) y^2 - 6y^3`

   `= - y^3 + 7y^3 - 6y^3`

    = 0

 `:. {x - (-y)} = (x + y), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `x^3 - 7xy^2 - 6y^3`

    `= x^3 + x^2y - x^2y - xy^2 - 6xy^2 - 6y^3`

    `= x^2 (x + y) - xy(x + y) - 6y^2 (x + y)`

   `= (x + y) (x^2 - xy - 6y^2)`

   `= (x + y) (x^2 - 3xy + 2xy - 6y^2)`

   `= (x + y) {x(x - 3y) + 2y(x - 3y)}`

   `= (x + y) (x - 3y) (x + 2y)`   (Ans)

ধরি, `f(x) = x^2 - 5x - 6`

 তাহলে, `f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) - 6`

  `= 1 + 5 - 6 = 6 - 6 = 0`

`:. {x - (-1)} = (x + 1), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন,  `x^2 - 5x - 6`

  `= x^2 + x - 6x - 6`

 `= x(x + 1) - 6(x + 1)`

`= (x + 1) (x - 6(`   (Ans)