ধরি, `f(a) = a^3 - a^2 - 10a - 8`

 তাহলে `f(-1) = (-1)^3 - (- 1)^2 - 10 (- 1) - 8`

         `= - 1 - 1 + 10 - 8`

         `= - 10 + 10`

          = 0

  `:. {a - (- 1)} = (a + 1), f(a)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `a^3 - a^2 - 10a - 8`

  `= a^3 + a^2 - 2a^2 - 2a - 8a - 8`

  `= a^2 (a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)`

  `= (a + 1) (a^2 - 2a - 8)`

  `= (a + 1) (a^2 - 4a + 2a - 8)`

  `= (a + 1) {a (a - 4) + 2(a - 4)}`

  `= (a + 1) (a - 4) (a + 2)`

  `= (a - 4) (a + 1) (a + 2)`   (Ans)

মনে করি, `f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4`

   `:. f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 4`

           = 8 - 12 + 8 - 4 

           = 16 - 16

           = 0

  `:. (x - 2), f(x) `এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `x^3 - 3x^2 + 4x - 4`

   `= x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x + 2x - 4`

  `= x^2 (x - 2) - x(x - 2) + 2(x - 2)`

  `= (x - 2) (x^2 - x + 2)`  (Ans)

এখানে, a কে চলক এবং b কে ধ্রবক হিসেবে বিবেচনা করি। 

 প্রদত্ত রাশিকে a এর বহুপদী বিবেচনা করে

 ধরি, `f(a) = a^3 - 7a^2 b + 7ab^2 - b^3`

 তাহলে, `f(b) = b^3 - 7b^2.b + 7.b.b^2 - b^3`

              `= b^3 - 7b^3 + 7b^3 - b^3`

                = 0

  `:. (a - b), f(a)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `a^3 - 7a^2 b + 7ab^2 - b^3`

 `= a^3 - a^2b - 6a^2 b + 6ab^2 + ab^2 - b^3`

 `= a^2 (a - b) - 6ab (a - b) + b^2 (a - b)`

 `= (a - b) (a^2 - 6ab + b^2)`      (Ans)

ধরি,  `f(x) = x^3 - x - 24`

 তাহলে, `f(3) = (3)^3 - 3 - 24`

              `= 27 - 3 - 24`

                = 0

  `:. (x - 3) f(x)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `x^3 - x - 24`

  `= x^3 - 3x^2 + 3x^2 - 9x + 8x - 24`

  `= x^2 (x - 3) + 3x(x - 3) + 8(x - 3)`

  `= (x - 3) (x^2 + 3x + 8)`   (Ans)

ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগের উদেশ্যে এখানে x কে চলক বা অনির্দেশক 

 এবং y কে ধ্রবক হিসেবে বিবেচনা কর।

 এখন, মনে করি, `f(x) = x^3 + 6x^2 y + 11xy^2 + 6y^3`

 তাহলে, `f (- 3y) = (- 3y)^3 + 6.(- 3y)^2.y + 11(- 3y) y^2 + 6y^3`

                `= - 27y^3 + 54y^3 - 33y^3 + 6y^3`

                `= 60y^3 + 60y^3 = 0`

   `:. {x - (- 3y)} = (x + 3y), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন,  `x^3 + 6x^2y + 11xy^2 + 6y^3`

    `= x^3 + 3x^2 y + 3x^2 y + 9xy^2 + 2xy^2 + 6y^3`

    `= x^2 (x + 3y) + 3xy (x + 3y) + 2y^2 (x + 3y)`

    `= (x + 3y) (x^2 + 3xy + 2y^2)`

    `= (x + 3y) (x^2 + 2xy + xy + 2y^2)`

    `= (x + 3y) {x (x + 2y) + y(x + 2y)}`

    `= (x + 3y) (x + 2y) (x + y)`

    `= (x + y) (x + 2y) (x + 3y)`    (Ans)