প্রদত্ত সমীকরণ

 `x/a + y/b = 1/a + 1/b`..............(i)

 `x/a - y/b = 1/a - 1/b`.................(ii)

   সমীকরণ (i) হতে পাই,

  `y/b = 1/a + 1/b - x/a`................(iii)

   সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত `y/b` এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

    `x/a - 1/a - 1/b + x/a = 1/a - 1/b`

   বা, `x/a + x/a = 1/a - 1/b + 1/a`

   বা, `x/a + x/a = 1/a + 1/a`

    বা, `(x + x)/a = (1 + 1)/a`

    বা, `(2x)/a = 2/a`

     বা, 2x = 2

     :. x = 1

     সমীকরণ (iii) এ x এর মান বসিয়ে পাই, 

    `y/b = 1/a + 1/b - 1/a`

    বা, `y/b = 1/b`

    :. y = 1

    :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 1)

প্রদত্ত সমীকরণ
  
  3x - 2y = 0.............(i)

  17x - 7y = 13...........(ii)

  সমীকরণ (i) হতে পাই,  - 2y = - 3x 

                 বা, `y = (-3x)/(- 2)`

      :. y = `(3x)/2`...............(iii)

    সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

    `17x - 7. (3x)/2 = 13`

    বা, `17x - (21x)/2 = 13`

    বা, `(34x - 21x)/2 = 13`

    বা, `(13x)/2 = 13`

     বা, 13x = 26

      বা,  x = `(26)/(13)`

       :. x = 2

      x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

        y =` (3.2)/2`

        :. y = 3

      :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

প্রদত্ত সমীকরণ

    x - y = 2a.................(i)

    ax + by =` a^2 + b^2`...........(ii)

     সমীকরণ  (i) হতে পাই,

      - y = 2a - x

    বা, y = x - 2a...............(iii)

         [ উভয় পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে ] 

     সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     ax + b (x - 2a) =` a^2 + b^2`

     বা, ax + bx - 2ab = `a^2 + b^2`

     বা, ax + bx =` a^2 + b^2 + 2ab`

     বা, x (a + b) =` (a + b)^2`

     বা, x =` (a + b)^2/(a + b)`

        :. x = a + b

       x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

       y = a + b - 2a

       :. y = b - a

       :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (a + b, b - a)

‍ প্রদত্ত সমীকরণ

     ax + by = ab............(i)

    bx + ay = ab............(ii)

     সমীকরণ (i) হতে পাই,

       by = ab - ax

     বা, y =` (ab - ax)/b`.................(iii)

     সমীকরণ (iii) হতে y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     bx + a. `(ab - ax)/b` = ab

      বা, `(b^2x + a^2b - a^2x)/b = ab`

      বা, `b^2x + a^2b - a^2x = ab^2`

      বা, `b^2x - a^2x = ab^2 - a^2b`

      বা, `x (b^2 - a^2) = ab (b - a)`

      বা, `x = (ab(b - a))/((b + a)(b - a))`

       `:. x = (ab)/(a + b)`

       সমীকরণ (iii) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

      `y = (ab - a. (ab)/(a + b))/b`

       বা, y =` (ab - (a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y =` ((ab (a + b) - a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y =` ((a^2b + ab^2 - a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y = `((ab^2)/(a + b))/b`

        বা, y =` (ab^2)/(a + b) xx 1/b`

         বা, y =` (ab)/(a + b)`

      :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) =` ((ab)/(a + b), (ab)/(a + b))`

প্রদত্ত সমীকরণ

   ax - by = ab.............(i)

   bx - ay = ab..............(ii)

    সমীকরণ (i) থেকে পাই,

            - by = ab - ax

       বা, by = ax - ab

               [- 1 দ্বারা উভয়ই পক্ষকে গুণ করে ]

     `y = (ax - ab)/b`...............(iii)

    সমীকরণ (iii) হতে y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     `bx - a. (ax - ab)/b`= ab

     বা, `bx - (a (ax - ab))/b` = ab

     বা, `(b^2x - a (ax - ab))/b = ab`

     বা, `(bx^2 - a^2x + a^2b)/b = ab`

      বা, `b^2x - a^2x + a^2b = ab^2`

      বা, `b^2x - a^2x = ab^2 - a^2b`

       বা, `x (b^2 - a^2) = ab (b - a)`

        বা, `x = (ab(b - a))/((b + a)(b - a))`

          `:. x = (ab)/(a + b)`

       x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

        `y = (a. (ab)/(a + b)  - ab)/b`

        বা, `y = (a^2b - (ab(a + b))/(a + b))/b`

        বা, `y = ((a^2b - a^2b - ab^2)/(a + b))/b`

        বা, `y = ((- ab^2)/(a + b))/b`

        বা, `y = (- ab^2)/(a + b) xx 1/b`

          `:. y = - (ab)/(a + b)`

      :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = `((ab)/(a + b), - (ab)/(a + b))`