ক. একজন কর্মকর্তার বেতন : একজন করণিকের বেতন : একজন পিওনের বেতন

           = 4 : 2 : 1

      :. 2 জন কর্মকর্তার বেতন : 7 জন করণিকের বেতন : 3 জন পিওনের বেতন

                                 `= (4 xx 2) : (2 xx 7) : (1 xx 3)`

      :. নির্ণেয় অনুপাত = 8 : 14 : 3


  খ. ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত অনুপাত = 8 : 14 : 3

     অনুপাতসমূহের যোগফল = 8 + 14 + 3 = 25

     সমানুপাতিক ভাগ  =` (150000)/(25) = 6000`টাকা

     কর্মকর্তার বেতন  `= (4 xx 6000)` টাকা = 24000  টাকা

     করণিকের বেতন` = (2 xx 6000)` টাকা = 12000  টাকা

     এবং পিওনের বেতন ` = (1 xx 6000)` টাকা = 6000 টাকা

     Ans. কর্মকর্তার বেতন = 24000 টাকা, করণিকের বেতন = 12000 

           টাকা এবং পিওনের বেতন 6000 টাকা।

  গ. এখানে কর্মকর্তার বেতন = 24000 টাকা  [‘খ’ থেকে]

     :. দেওয়া আছে, কর্মকর্তার প্রাপ্য বেতন 1 : 4 অনুপাতে বিভক্ত করা হয়।

     :. অনুপাতের যোগফল = 1 + 4

                             = 5

     :. নিজের অংশ (24000 এর `1/5`) টাকা = 4800 টাকা

     :. বাকি অংশ (24000 এর `4/5`) টাকা = 19200 টাকা 

      আবার বাকী অংশ মা ভাই ও বোনের মধ্যে 3 : 2 : 1 অনুপাতের বিভক্ত 

         করে দেয়।

     :. অনুপাতের যোগফল = 3 + 2 + 1 = 6

     :. মা পাবে (19200 এর `3/6`) টাকা = 9600 টাকা

       ভাই পাবে (19200 এর `2/6`) টাকা = 6400 টাকা

      এবং বোন পাবে (19200 এর `1/6`) টাকা = 3200 টাকা

    Ans. মা পাবে 9600 টাকা, ভাই পাবে 6400 টাকা এবং বোন পাবে 3200 টাকা।

ক. দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য X মি. ও প্রস্থ ‍Y মি.

    :. ক্ষেত্রফল = XY বর্গ মি.

    এখন আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পায়।

    :. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির পরিমাণ (X এর 10%) মি.

          = (X এর `(10)/(100)`) মি.= `(10X)/(100)` মি.= `X/(10)` মি.

     আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 10% হ্রাস পায়।

    :. প্রস্থ হ্রাসের পরিমাণ (Y এর 10%) মি.

           = (Y এর `(10)/(100)`) মি.= `(10Y)/(100)` মি. = `Y/(10)` মি.

      Ans. `x/(10)` মিটার `y/(10)` মিটার।

  খ. ‘ক’ হতে পাই, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে

      দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির পরিমাণ `x/(10)` মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য `= (x + x/(10)`) মিটার `= ((10x + x)/(10))` মিটার

ক. দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মি. ও প্রস্থ y মি.

    :. ক্ষেত্রফল = xy বর্গ মি.

    এখন আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্বি পায়।

    :. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পরিমাণ (x এর 10%) মি.

           = (x এর `(10)/(100)`) মি. = `(10x)/(100)` মি. = `x/(10)`

       আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 10% হ্রাস পায়।

        :. প্রস্থ হ্রাসের পরিমাণ (y এর 10%) মি.

           = (y এর `(10)/(100)`) মি. = `(10y)/(100)` মি, = `y/(10)` মি.

        Ans. `x/(10)` মিটার মিটার।

 
   খ. ‘ক’ হতে পাই, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে

       দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির পরিমাণ `x/(10)` মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য =` (x + x/(10)) `মিটার = `((10x + x)/(10))`মিটার 

                              = `(11x)/(10) `মিটার

       প্রস্থ 10% হ্রাস পেলে, প্রস্থ হ্রাসের পরিমাণ `y/(10)` মিটার

      :. আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ =` (y - y/(10))` মিটার =` ((10y - y)/(10))` মিটার 

                            =` (9y)/(10)` মিটার

        Ans. `(11x)/(10)` মিটার `(9y)/(10)` মিটার।

   গ. ‘খ’ হতে প্রাপ্ত

      আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য `(11x)/(10)` মিটার প্রস্থ `(9y)/(10)` মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল `((11x)/(10) xx (9y)/(10))` বর্গ মিটার =` (99xy)/(100)` বর্গ মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় `(xy - (99xy)/(100))` বর্গ মিটার

                                         =` (xy)/(100)`  বর্গ মিটার

     :. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল xy বর্গমিটার হ্রাস পায় `(xy)/(100)` বর্গ মিটার

        :.     ,,     ,,       ,,   100    ,,         ,,       `(xy xx 100)/(100 xx xy)` 

                                                               = 1 বর্গ মিটার

      আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1% হ্রাস পায়।

      Ans. 1% হ্রাস পায়।

ক. দেওয়া আছে,

    a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী

   :. `a/b = b/c`

   বা, `b^2 = ac` ইহাই a, b, c এর গাণিতিক সম্পর্ক।

 খ. ‘ক’ হতে পাই,` b^2 = ac`.............(i)

   এখন বামপক্ষ` = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

          ` = (a^2 + ac)/(ac + c^2)`  [নং থেকে]

           `= (a(a + c))/(c(a + c)) = a/c`

  ডানপক্ষ
   ` = ((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + 2ab + b^2)/(b^2 + 2bc + c^2)`

    `= (a^2 + 2ab + ac)/(ac + 2bc + c^2)` [ (i) নং থেকে]

    `= (a(a + 2b + c))/(c(a + 2b + c)) = a/c`

     :. `((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` (প্রমাণিত)


  গ. ‘ক’ থেকে পাই,

    `b^2 = ac`.................(i)

     প্রশ্নমতে, a + b + c = 13.................(ii) 

     এবং abc = 27.........................(iii)     

     ac =` b^2` (iii) সমীকরণ বসিয়ে পাই, 

   `b.b^2` = 27

    বা,`b^3 = 27`

    :. b = 3

    b = 3  হলে, (ii) হতে পাই, 

    a + c = 13 - b

   বা, a + c = 13 - 3

   বা, a + c = 10 ..................(iv)

   b = 3 এর মান (iii) নং এ পাই, ac =` 27/3`

  :. ac = 9 .............(v)

  এখন` (a - c)^2 = (a + c)^2 - 4ac`

 `= (10)^2 - 4.9` [নং ও নং হতে]

  = 100 - 36

  = 64

   :. a - c = 8

   এখন a + c = 10

         a - c  = 8

   ------------------
     2a      = 18  [যোগ করে]

            a = 9 হলে

    9 + c = 10  [(iv) নং হতে]

    :. c = 1

    :. সংখ্যা তিনটি 1, 3 9  (Ans)

ক. মনে করি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x একক এবং প্রস্থ y একক 

     দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায় x এর 10% `(x xx (10)/(100))` একক `= x/(10)`একক

     :. নতুন দৈর্ঘ্য পরিমাণ `(x + x/(10))` একক `= (11x)/(10)` একক  (Ans)


  খ. ‘ক’ অংশ হতে পাই, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x একক ও প্রস্থ y একক

      :. ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক

      এবং বৃদ্ধিপ্রাপ্ত দৈর্ঘ্যের পরিমাণ =` (11x)/(10)` একক

      আবার প্রস্থ হ্রাস পায় y এর 10% =` (y xx (10)/(100))` একক `= y/(10)` একক

    :. হ্রাস প্রাপ্ত প্রস্থের পরিমাণ `(y - y/(10))` একক =` (9y)/(10)` একক

    :. নতুন ক্ষেত্রফলের পরিমাণ `((11x)/(10) xx (9y)/(10))` বর্গ একক

                                 =` (99xy)/(100)` বর্গ একক

    :. ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় `(xy - (99xy)/(100))` বর্গ একক

                           `= ((100xy - 99xy)/(100))` ,,

                            `= (xy)/(100)` বর্গ একক


   গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই, ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় =` (xy)/(100)` বর্গ একক এবং

      পূর্বের ক্ষেত্রফল = xy বর্গ একক।

      :. হ্রাসকৃত ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিমাণ

     = (হ্রাস পাওয়া ক্ষেত্রফল/পূর্বের ক্ষেত্রফল `xx 100`)%

     আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ যদি 10% বৃদ্ধি পেত তাহলে,

     প্রস্থ বৃদ্ধি হত y এর 10% =` (y xx (10)/(100))` একক =` y/(10)` একক

     :. নতুন প্রস্থ হত `= (y + y/(10)` একক =` (11y)/(10)` একক

      আবার ‘ক’ অংশ হতে পাই,

      10% বৃদ্ধিতে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের পরিমাণ হয় `(11x)/(10)` একক

     :. ক্ষেত্রফল হত `= ((11x)/(10) xx (11y)/(10))` বর্গ একক `= (121xy)/(100)` বর্গ একক

    :. ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেত `= ((121xy)/(100) - xy)` বর্গ একক

                           `= (121xy - 100xy)/(100)` বর্গ একক

                           `= (21xy)/(100)`  বর্গ একক

             Ans. 1%, `(21xy)/(100)` বর্গ একক।